Question

Решить дифференциальное уравнение y''-y'=4+x

Answer 1

Простое неоднородное уравнение 2 порядка.
Решение функция y = y0 + y~
Решаем сначала однородное.
y'' - y' = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - k = 0
k1=0; k2=1
y0 = C1*e^0x + C2*e^x = C1 + C2*e^x
Теперь решаем неоднородное.
y~ = x*(Ax+B) = Ax^2 + Bx
y~' = 2Ax + B
y~'' = 2A
Подставляем в уравнение
2A - 2Ax - B = 4 + x
Составляем систему по степеням.
{ -2A = 1
{ 2A - B = 4
Решаем
A = -1/2; B = -1 - 4 = -5
y~ = -1/2*x^2 - 5x
В итоге
y = y0 + y~ = C1 + C2*e^x - 1/2*x^2 - 5x

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка, выразим его в стандартной форме и применим методы интегрирования.

Дано дифференциальное уравнение: y'' - y' = 4 + x

Заменим y' на производную от y по x: y' = dy/dx.

Теперь уравнение примет вид: d^2y/dx^2 - dy/dx = 4 + x

Теперь решим дифференциальное уравнение методом интегрирования.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения.

Для однородного уравнения d^2y/dx^2 - dy/dx = 0, предположим решение y = e^(rx). Подставим его в уравнение:

d^2/dx^2(e^(rx)) - d/dx(e^(rx)) = 0

После дифференцирования получаем: r^2e^(rx) - re^(rx) = 0

Вынесем общий множитель e^(rx):

e^(rx)(r^2 - r) = 0

Так как e^(rx) не равно нулю, остается характеристическое уравнение: r^2 - r = 0

Шаг 2: Найдем корни характеристического уравнения.

r^2 - r = 0 r(r - 1) = 0

Корни: r1 = 0 и r2 = 1.

Теперь у нас есть два корня характеристического уравнения, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C1 * e^(0 * x) + C2 * e^(1 * x) y_h(x) = C1 + C2 * e^x, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 3: Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения (4 + x), предположим, что y_particular(x) имеет вид:

y_particular(x) = Ax + B

Теперь найдем y' и y'':

y' = A y'' = 0

Подставим y, y' и y'' в исходное уравнение:

0 - A = 4 + x

Таким образом, A = -4 - x.

Шаг 4: Найдем общее решение неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения y(x) равно сумме общего решения однородного уравнения y_h(x) и частного решения y_particular(x):

y(x) = y_h(x) + y_particular(x) y(x) = C1 + C2 * e^x + (-4 - x) * x + B

где C1, C2 и B - произвольные постоянные.

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения y'' - y' = 4 + x имеет вид:

y(x) = C1 + C2 * e^x - 4x - x^2 + B