Question

Исследовать функцию на возрастание и убывание с помощью первой производной: y=  \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3x + 4

Answer 1

Y = x^3 + x^2 - 3x + 4
y' = 3x^2 + 2x - 3
Найдём корни:
3x^2 + 2x - 3 = 0
x^2 + 2x/3 - 1 = 0.
x1 = (-2/3 + sqrt(4/9 + 4))/2 = -1/3 + sqrt(10)/3
x2 = -1/3 - sqrt(10)/3
Функция возрастает (-∞; -1/3 - sqrt(10)/3] U [-1/3 + sqrt(10)/3; ∞)
Убывает (-1/3 - sqrt(10)/3; -1/3 + sqrt(10)/3)

Answer 2

Для исследования функции на возрастание и убывание с помощью первой производной, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции y по x.
2. Решите уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции.
3. Постройте таблицу знаков первой производной в интервалах между критическими точками.
4. Определите возрастание и убывание функции в каждом из интервалов.

Давайте выполним эти шаги:

Шаг 1: Найдем первую производную функции y по x.

Для функции y = (1/3)x^3 + x^2 - 3x + 4, возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим:

y' = d/dx[(1/3)x^3] + d/dx[x^2] - d/dx[3x] + d/dx[4]

y' = x^2 + 2x - 3

Шаг 2: Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции.

Поставим y' равным нулю и решим уравнение:

x^2 + 2x - 3 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня. Путем факторизации мы получим:

(x + 3)(x - 1) = 0

Это дает нам два значения x: x = -3 и x = 1.

Шаг 3: Построим таблицу знаков первой производной в интервалах между критическими точками.

Теперь, чтобы определить знак первой производной на каждом интервале, мы можем выбрать тестовую точку внутри каждого интервала и проверить знак производной в этой точке.

Выберем тестовые точки: x = -4 (интервал от минус бесконечности до -3), x = 0 (интервал от -3 до 1) и x = 2 (интервал от 1 до плюс бесконечности).

Шаг 4: Определим возрастание и убывание функции в каждом из интервалов.

Теперь определим знак производной в каждом интервале, исходя из выбранных тестовых точек:

• При x = -4: y' = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 (положительное значение)
• При x = 0: y' = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 (отрицательное значение)
• При x = 2: y' = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 (положительное значение)

Теперь, используя таблицу знаков первой производной, мы можем определить поведение функции:

1. Функция возрастает на интервале от минус бесконечности до x = -3.
2. Функция убывает на интервале от x = -3 до x = 1.
3. Функция возрастает на интервале от x = 1 до плюс бесконечности.

Таким образом, мы получили информацию о поведении функции y = (1/3)x^3 + x^2 - 3x + 4.