Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж. y=6/x; y=7-xРешение напишите подробно

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя указанными линиями, сначала необходимо определить точки их пересечения. Затем нарисуем график этих функций, чтобы легче представить себе фигуру.

У нас есть две функции:

1. Уравнение линии y = 6/x
2. Уравнение линии y = 7 - x

Для определения точек пересечения, приравняем эти уравнения друг другу:

6/x = 7 - x

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

6/x + x = 7

Приведем дробь к общему знаменателю:

(6 + x^2) / x = 7

Теперь умножим обе стороны на x, чтобы избавиться от знаменателя:

6 + x^2 = 7x

Теперь приведем уравнение к квадратичной форме:

x^2 - 7x + 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

Для этого можно либо использовать квадратную формулу, либо попытаться разложить его на множители:

(x - 6)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = 6 и x = 1.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим каждое из этих значений x в любое из уравнений:

1. При x = 6: y = 6/6 = 1

2. При x = 1: y = 6/1 = 6

Теперь у нас есть две точки пересечения: (6, 1) и (1, 6).

Чтобы нарисовать график, обозначим оси координат и отметим найденные точки пересечения:

markdownCopy code
  |       * (1, 6)
7 |         *
  |           \
6 |            \
  |             * (6, 1)
5 |            /
  |           /
4 |         *
  |       *
3 |     *
  |   *
2 | *
  |_____________________
       0  1  2  3  4  5  6

Теперь мы видим, что фигура ограничена линиями y = 6/x, y = 7 - x и осями координат. Чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно вычислить площадь под кривыми между значениями x = 1 и x = 6.

Площадь этой фигуры равна интегралу от y = 6/x до y = 7 - x по оси x на интервале от x = 1 до x = 6:

S = ∫[1, 6] (7 - x - 6/x) dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[1, 6] (7 - x - 6/x) dx S = ∫[1, 6] (7 - x - 6x^(-1)) dx S = ∫[1, 6] (7 - x - 6 * 1/x) dx

Интеграл ∫(1/x) dx = ln|x| + C

S = [7x - (x^2)/2 - 6ln|x|] |[1, 6] S = [(76 - (6^2)/2 - 6ln|6|) - (71 - (1^2)/2 - 6ln|1|)] S = [42 - 18 - 6ln(6)] - [7 - 0 - 6ln(1)] S = 24 - 6ln(6) - 7

S = 17 - 6ln(6) (приблизительно 8.41 квадратных единиц)

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6/x и y = 7 - x, составляет приблизительно 8.41 квадратных единиц.