Question

Помогите пожалуйста решить пример . Определить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3; y=2-x; y=0

Answer 1

Заданная фигура - сумма двух фигур: криволинейной трапеции и прямоугольного треугольника.
Находим их границу, приравняв функции:
x³ = 2 - x,,
х³ + х - 2 = 0.
Это кубическое уравнение решаем, используя делители свободного члена: +-1 и +-2.
Подходит х = 1: 1³ + 1 - 2 = 0.
$S_1= \int\limits^1_0 {x^3} \, dx = \frac{x^4}{4} |_0^1= \frac{1}{4} =0,25.$
Площадь треугольника  $S_2= \frac{1}{2} *1*(2-1) = 0,5.$
Здесь х = 2 это точка пересечения прямой с осью Ох.

Ответ: S = 0,25 + 0,5 = 0,75 кв.ед.

Answer 2

Хорошо, чтобы определить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения и вычислить интеграл площади между ними.

Сначала найдем точки пересечения двух функций:

1. y = x^3
2. y = 2 - x

Для этого приравняем функции друг другу и решим уравнение:

x^3 = 2 - x

x^3 + x - 2 = 0

Поиск аналитического решения данного уравнения не всегда прост, но мы можем воспользоваться численным методом, например, методом половинного деления, чтобы найти приближенное значение корня. Предположим, что x находится в диапазоне [-2, 2]:

• При x = -2: (-2)^3 + (-2) - 2 = -12
• При x = -1: (-1)^3 + (-1) - 2 = -4
• При x = 0: 0^3 + 0 - 2 = -2
• При x = 1: 1^3 + 1 - 2 = 0
• При x = 2: 2^3 + 2 - 2 = 10

Мы видим, что уравнение имеет корень в интервале [-1, 0]. Применим метод половинного деления для нахождения приближенного значения корня.

Итерация 1: a = -1, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-1 + 0) / 2 = -0.5 f(x) = (-0.5)^3 + (-0.5) - 2 ≈ -2.375

Итерация 2: a = -0.5, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-0.5 + 0) / 2 = -0.25 f(x) = (-0.25)^3 + (-0.25) - 2 ≈ -1.93

Итерация 3: a = -0.25, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-0.25 + 0) / 2 = -0.125 f(x) = (-0.125)^3 + (-0.125) - 2 ≈ -1.57

Итерация 4: a = -0.125, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-0.125 + 0) / 2 = -0.0625 f(x) = (-0.0625)^3 + (-0.0625) - 2 ≈ -1.27

Итерация 5: a = -0.0625, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-0.0625 + 0) / 2 = -0.03125 f(x) = (-0.03125)^3 + (-0.03125) - 2 ≈ -1.03

Итерация 6: a = -0.03125, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-0.03125 + 0) / 2 ≈ -0.015625 f(x) = (-0.015625)^3 + (-0.015625) - 2 ≈ -0.84

Итерация 7: a = -0.015625, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-0.015625 + 0) / 2 ≈ -0.0078125 f(x) = (-0.0078125)^3 + (-0.0078125) - 2 ≈ -0.69

Итерация 8: a = -0.0078125, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-0.0078125 + 0) / 2 ≈ -0.00390625 f(x) = (-0.00390625)^3 + (-0.00390625) - 2 ≈ -0.59

Итерация 9: a = -0.00390625, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-0.00390625 + 0) / 2 ≈ -0.001953125 f(x) = (-0.001953125)^3 + (-0.001953125) - 2 ≈ -0.52

Итерация 10: a = -0.001953125, b = 0, x = (a + b) / 2 = (-0.001953125 + 0) / 2 ≈ -0.0009765625 f(x) = (-0.0009765625)^3 + (-0.0009765625) - 2 ≈ -0.46

После нескольких итераций видим, что уравнение имеет корень около x ≈ -0.0009765625.

Теперь найдем вторую точку пересечения функций y = x^3 и y = 2 - x:

y = x^3 y = 2 - x

Подставим найденное значение x ≈ -0.0009765625 в уравнение y = x^3:

y ≈ (-0.0009765625)^3 ≈ -9.53674316 * 10^-10

Таким образом, вторая точка пересечения приближенно равна (x ≈ -0.0009765625, y ≈ -9.53674316 * 10^-10).

Теперь мы можем рассчитать площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, с помощью интеграла. Площадь будет равна интегралу функции y = 2 - x минус функции y = x^3 от x = -0.0009765625 до x = -1:

Площадь = ∫[от -0.0009765625 до -1] (2 - x) - x^3 dx

Рассчитаем интеграл:

∫(2 - x) - x^3 dx = [2x - x^2/2 - x