Question

Найдите область определения функции f(x)= √log2(5-x^2)

Answer 1

 Первое, на что надо обратить внимание - корень. Так как он чётной степени, подкоренное выражение должно быть больше или равно 0.
 Дальше идёт логарифм. В данной функции 5-x² должно быть строго больше 0.
 Понятно, что эти условия должны выполняться одновременно. Поэтому их надо решать в системе.

Получаем:

$\left \{ {{log_2(5-x^2) \geq 0} \atop {5-x^2\ \textgreater \ 0}} \right. \\ \left \{ {{log_2(5-x^2) \geq log_21} \atop {5-x^2\ \textgreater \ 0}} \right. \\ \left \{ {{5-x^2 \geq 1} \atop {5-x^2\ \textgreater \ 0}} \right.$

После преобразований мы получили два неравенства: 5-x² ≥ 1 и 5-x² >0
 Если мы найдём значения x при которых выполняется первое неравенство, то делать тоже самое для второго уже необязательно.
 Следовательно, для того чтобы найти область определения для заданной функции, нам надо всего лишь решить неравенство 5-x² ≥ 1.

5-x² ≥ 1 ⇔ 4-x² ≥ 0 ⇔ x∈[-2; 2]

Ответ: x∈[-2; 2]

Answer 2

Для определения области определения функции f(x) = √log2(5-x^2) нужно учесть два фактора:

1. Число под логарифмом должно быть положительным.

2. Число под корнем (выражение внутри логарифма) должно быть неотрицательным.

3. Число под логарифмом должно быть положительным:

Для того чтобы выражение под логарифмом было положительным, выполним неравенство:

5 - x^2 > 0

Решим это неравенство:

x^2 < 5

Теперь найдем интервалы, на которых это неравенство выполняется:

-√5 < x < √5

2. Число под корнем (выражение внутри логарифма) должно быть неотрицательным:

5 - x^2 ≥ 0

Так как в условии задачи указано "√log2(5-x^2)", корень из выражения должен быть определен, поэтому:

5 - x^2 ≥ 0

Таким образом, интервал, на котором это неравенство выполняется, совпадает с интервалом из пункта 1:

-√5 ≤ x ≤ √5

Объединив оба интервала, получаем область определения функции f(x):

-√5 ≤ x ≤ √5