Question

Даша и Маша по очереди выписывают на доску цифры восьмидесятизначного числа(возможно повторяющихся)Сначала Даша выписывает первую цифру,затем ТАНЯ-вторую ,и так далее.Таня хочет,чтобы полученное в результате число делилось на 3,а Даша хочет ей помешать.Кто из девочек может добиться желаемого результата,независимо от ходов соперников? помогите с ответом,пожайлуста

Answer 1

У Маши есть следующая выигрышная стратегия: после очередного хода Даши она должна дописать к числу такую цифру, чтобы в результате сумма цифр числа делилась на 3. Это всегда можно сделать (более того, для этого Маше достаточно использовать цифры 0, 1 и 2). Тогда после каждого хода Маше (в том числе после последнего) написанное на доске число будет делиться на 3, и Маша выиграет.

Answer 2

Если сумма всех цифр восмидесятизначного числа делится на 3, то и число делится на 3

Таня выграет

Answer 3

Чтобы понять, кто из девочек может добиться желаемого результата, давайте рассмотрим, как влияет каждое действие на делимость на 3 числа, составленного из восьмидесятизначного числа.

Для того чтобы число было делится на 3, сумма его цифр также должна делиться на 3. Это свойство выполняется для всех чисел. Для примера, рассмотрим число "123456789" (девятьзначное число). Сумма его цифр равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, что делится на 3, так как 45 / 3 = 15.

Теперь вернемся к нашему восьмидесятизначному числу, и давайте определим, как каждое действие влияет на его делимость на 3:

1. Когда Даша (D) выписывает цифру на четной позиции, это не изменяет ситуацию, потому что сумма цифр остается неизменной (так как каждая четная цифра вносит свой вклад в сумму, равный некоторому четному числу).

2. Когда Маша (M) выписывает цифру на нечетной позиции, это увеличивает сумму цифр на это значение. Но так как мы хотим добиться того, чтобы число делилось на 3, значит, мы должны выбирать цифры на нечетных позициях так, чтобы сумма цифр оставалась кратной 3.

Теперь давайте проанализируем ситуацию:

• Если в исходном восьмидесятизначном числе сумма цифр кратна 3, то Таня (Маша) всегда может поддерживать это свойство, выбирая подходящие цифры на нечетных позициях.
• Если в исходном восьмидесятизначном числе сумма цифр не кратна 3, то Даша (Таня) также может выбирать цифры на четных позициях таким образом, чтобы сумма оставалась не кратной 3 и тем самым предотвращать деление на 3.

Таким образом, в зависимости от исходного восьмидесятизначного числа:

• Если сумма его цифр кратна 3, Таня (Маша) может всегда добиться желаемого результата.
• Если сумма его цифр не кратна 3, то Даша может помешать Тане добиться желаемого результата.

Здесь важно отметить, что итоговая возможность существования такого числа может зависеть от самого числа и его конкретной суммы цифр, а не от ходов девочек.