Question

Очень нужно решение на этот пример ! y'+3y=xe^-3x , y(0)=0

Answer 1

1) y' + 3y = 0
    y' = -3y
$\frac{dy}{dx} =-3y\\ \frac{dy}{y} = -3 dx \Rightarrow y=Ce^{-3x}$
2) 
$y=C(x)e^{-3x} \\ y' = C'(x)e^{-3x}-3C(x)e^{-3x} \\ C'(x)e^{-3x}-3C(x)e^{-3x}+3C(x)e^{-3x} = xe^{-3x}\\ C'(x)e^{-3x} = xe^{-3x}\\ C'(x) = x\ \Rightarrow C(x) = \frac{1}{2}x^2+ \widetilde {C} \\ \Rightarrow y=(\frac{1}{2}x^2+ \widetilde {C})e^{-3x}\\ y(0)=0 \Rightarrow (\frac{1}{2}*0^2+ \widetilde {C})e^{0}=0 \ \Rightarrow \widetilde {C} =0\\ \\ y=\frac{1}{2}x^2e^{-3x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с начальным условием, мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Данное дифференциальное уравнение выглядит как линейное неоднородное уравнение первого порядка, которое имеет вид:

dy/dx + 3y = xe^(-3x)

Для начала, представим правую часть уравнения в виде произведения двух функций: u(x) и v(x). Обратите внимание, что нужно выбрать u(x) так, чтобы производная v'(x) легко интегрировалась.

u(x) = x => u'(x) = 1 v(x) = -e^(-3x) => v'(x) = 3e^(-3x)

Теперь применим метод интегрирования по частям, который выглядит следующим образом:

∫ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x) dx

Подставим значения u(x) и v'(x):

∫ x * 3e^(-3x) dx = x * -e^(-3x) - ∫ (-e^(-3x)) * 1 dx

Вычислим каждый из интегралов:

1. ∫ x * 3e^(-3x) dx:

Для интегрирования этого члена, мы можем снова использовать метод интегрирования по частям:

u(x) = x => u'(x) = 1 v(x) = -e^(-3x) => v'(x) = 3e^(-3x)

∫ x * 3e^(-3x) dx = x * -e^(-3x) - ∫ (-e^(-3x)) * 1 dx = -x * e^(-3x) + ∫ e^(-3x) dx = -x * e^(-3x) - (1/3) * e^(-3x) + C1

2. ∫ (-e^(-3x)) * 1 dx:

Это интеграл элементарной функции:

∫ (-e^(-3x)) * 1 dx = -∫ e^(-3x) dx = -(-1/3) * e^(-3x) + C2 = (1/3) * e^(-3x) + C2

Теперь, объединим результаты:

∫ x * 3e^(-3x) dx = -x * e^(-3x) - (1/3) * e^(-3x) + C1 = (1/3) * e^(-3x) + C2

Теперь найдем частное решение y(x) для исходного дифференциального уравнения:

dy/dx + 3y = xe^(-3x)

y(x) = (1/3) * e^(-3x) + C2

Теперь применим начальное условие y(0) = 0:

y(0) = (1/3) * e^(-3 * 0) + C2 0 = (1/3) * e^0 + C2 0 = (1/3) * 1 + C2 C2 = -1/3

Таким образом, окончательное решение этого дифференциального уравнения с начальным условием y(0) = 0:

y(x) = (1/3) * e^(-3x) - 1/3