Question

Помогите найти экстремум функции с решением y=x^3+4x^2+5

Answer 1

Экстремумы функции находятся приравниванием производной функции к 0.

$y' = (x^3+4x^2+5)' = (x^3)'+(4x^2)' +5' = 3x^2+8x=x(3x+8)$

y' = 0;

x(3x+8) = 0;

x = 0; x = -8/3

Отметим найденные точки на оси x.

------------(-8/3)-----------0-------->x

1. На промежутке от -∞ до -8/3 производная больше 0, а на промежутке от -8/3 до 0 производная будет меньше нуля, следовательно точка -8/3 - максимум функции.
 
2. На промежутке от -8/3 до 0 производная меньше 0, а на промежутке от 0 до ∞ больше 0, следовательно 0 - минимум фунции

Ответ: 
 
-8/3 - максимум
 0 - минимум

Answer 2

Для поиска экстремумов функции y = x^3 + 4x^2 + 5 сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проверим значение второй производной в этих точках, чтобы определить, являются ли они экстремумами или нет.

1. Найдем первую производную функции y = x^3 + 4x^2 + 5: dy/dx = 3x^2 + 8x.

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 3x^2 + 8x = 0.

3. Решим уравнение: x(3x + 8) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = -8/3.

4. Теперь найдем значение второй производной в этих точках: d^2y/dx^2 = 6x + 8.

5. Подставим x = 0: d^2y/dx^2 = 6(0) + 8 = 8.

6. Подставим x = -8/3: d^2y/dx^2 = 6(-8/3) + 8 = -16 + 8 = -8.

Теперь определяем, являются ли найденные точки экстремумами:

1. x = 0: d^2y/dx^2 = 8 > 0. Это значит, что в точке x = 0 функция имеет локальный минимум.

2. x = -8/3: d^2y/dx^2 = -8 < 0. Это значит, что в точке x = -8/3 функция имеет локальный максимум.

Таким образом, локальный минимум достигается при x = 0, а локальный максимум при x = -8/3.