Question

Помогите решить интегралы 1)x*dx/cos^2x 2)dx/(sinx-cosx)

Answer 1

Ловите ваши интегральчики. Первый сводится к табличным, интегрированием по частям, а вот второй очень интересный. Такие как второй решаются через подстановку Вейерштрасса через тангенс половинного угла и надеюсь на экзамене вам не попадутся lol
Удачи Вам!

Answer 2

Конечно, решим данные интегралы:

1. ∫(x*dx) / cos^2(x)

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом подстановки. Пусть u = cos(x), тогда du = -sin(x)dx. Теперь заменим переменную в интеграле:

∫(x*dx) / cos^2(x) = ∫(-dx) / u^2 = -∫du/u^2 = -(-1/u) + C = 1/cos(x) + C,

где C - произвольная постоянная.

2. ∫dx / (sin(x) - cos(x))

Для этого интеграла также воспользуемся методом подстановки. Пусть t = sin(x) - cos(x), тогда dt = (cos(x) + sin(x))dx. Теперь заменим переменную в интеграле:

∫dx / (sin(x) - cos(x)) = ∫(dt / (cos(x) + sin(x)))

Теперь разделим числитель и знаменатель на √2 (так как (cos(x) + sin(x))^2 = 2(cos^2(x) + sin^2(x) + 2cos(x)sin(x)) = 2(1 + sin(2x)) = 2 + 2sin(2x)):

∫(dt / (cos(x) + sin(x))) = ∫(dt / (√2 * (1 + sin(2x))))

Далее, проведем замену v = √2 * sin(2x), тогда dv = √2 * 2cos(2x)dx = 2√2 * cos(2x)dx.

Теперь заменим переменную в интеграле:

∫(dt / (√2 * (1 + sin(2x)))) = ∫(dv / (2 * v)) = (1/2)∫(dv / v) = (1/2)ln(|v|) + C = (1/2)ln(|√2 * sin(2x)|) + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл ∫dx / (sin(x) - cos(x)) равен (1/2)ln(|√2 * sin(2x)|) + C.