Question

Исследовать функцию и построить ее график y=x^3-3x План исследования 1 Найти область определения функций 2 Найти точки пересечения графика функций с координатными осями 3 Проверить на чётность-нечётность 4 Исследовать на монотонность и точки экстремума 5 Определить промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба 6 Начертить график

Answer 1

Ненужные пункты исследования можно убрать

Answer 2

Хорошо, давайте исследуем функцию и выполним все пункты плана:

1. Найти область определения функции: Область определения (D) функции y = x^3 - 3x - это множество всех значений x, для которых функция определена. Функция является многочленом, и многочлены определены на всей числовой прямой. Таким образом, область определения функции y = x^3 - 3x является множеством всех действительных чисел: D = (-∞, +∞).

2. Найти точки пересечения графика функции с координатными осями: Точки пересечения графика с осью абсцисс (x-осью) соответствуют значениям x, при которых y = 0. Таким образом, чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, решим уравнение:

x^3 - 3x = 0

Факторизуем:

x(x^2 - 3) = 0

Получаем два корня: x = 0 и x = ±√3.

Точки пересечения с осью ординат (y-осью) равны значению функции при x = 0:

y = 0^3 - 3 * 0 = 0

Таким образом, точки пересечения с осями координат: (0, 0), (√3, 0) и (-√3, 0).

3. Проверить на чётность-нечётность: Функция y = x^3 - 3x не является ни четной, ни нечетной, так как она не обладает свойствами симметрии относительно начала координат.

4. Исследовать на монотонность и точки экстремума: Чтобы исследовать функцию на монотонность, возьмем производную и найдем интервалы, где она положительна и отрицательна.

y = x^3 - 3x

y' = 3x^2 - 3

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума:

3x^2 - 3 = 0

x^2 - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

x = 1 или x = -1

Проверим знак производной на интервалах:

• Если y' > 0, то функция возрастает.
• Если y' < 0, то функция убывает.

Для x < -1: y' > 0 (положительная производная), функция возрастает. Для -1 < x < 1: y' < 0 (отрицательная производная), функция убывает. Для x > 1: y' > 0 (положительная производная), функция возрастает.

Точки экстремума: При x = -1 функция достигает локального максимума. При x = 1 функция достигает локального минимума.

5. Определить промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба: Чтобы определить промежутки выпуклости и вогнутости, найдем вторую производную и проверим ее знак.

y = x^3 - 3x

y' = 3x^2 - 3

y'' = 6x

Теперь найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:

6x = 0

x = 0

Знак второй производной: Для x < 0: y'' < 0 (отрицательная производная), функция вогнута. Для x > 0: y'' > 0 (положительная производная), функция выпукла.

Точка перегиба: При x = 0 функция имеет точку перегиба.

6. Начертить график: С учетом всех исследованных характеристик функции, можно построить её график. На графике будут отражены точки пересечения с осями, точки экстремума, точка перегиба, а также информация о монотонности и выпуклости/вогнутости на соответствующих интервалах.

(Please note that, as an AI language model, I cannot directly draw the graph, but I can help describe it based on the given information.)