Question

На продовженні сторони АС трикутника АВС за точку С позначено точку D так що кут АDВ=30*.Знайдіть радіус кола описаного навколо трикутника АВD якщо кутАСВ=45* а радіус кола описаного навколо трикутника АВС =8корень из 2

Answer 1

Ответ:

Радиус окружности, описанной около ΔABD = 16.

Пошаговое объяснение:

По теореме синусов a/sina = b/sinb = c/sinc = 2R, где R - радиус описанной окружности.

Обозначим радиус окружности, описанной около ΔABC как R₁,  радиус окружности, описанной около ΔABD как R₂.

Из  ΔABC по т. синусов:

AB / sin∠C = 2R₁;    AB = 2R₁ * sin∠C;

AB = 2 * 8√2 * sin45° = 16√2 * √2/2 = 16;

Из  ΔABD по т. синусов:

AB / sin∠D = 2R₂;    

R₂ = AB / 2 sin30° = 16 / (2 * 1/2) = 16.

Радиус окружности, описанной около ΔABD = 16.

Answer 2

Для знаходження радіуса кола, описаного навколо трикутника АВD, можемо скористатись відомим фактом, що у трикутнику, описаному навколо кола з радіусом R, діють наступні співвідношення між сторонами трикутника та радіусом:

1. $AB = \frac{2R}{\sin\angle B}$
2. $BD = \frac{2R}{\sin\angle D}$
3. $AD = \frac{2R}{\sin\angle A}$

Де $AB$, $BD$ та $AD$ - сторони трикутника, а $\angle A$, $\angle B$ та $\angle D$ - відповідні кути.

За умовою, ми знаємо, що $\angle ADВ = 30^\circ$ та $\angle ACB = 45^\circ$.

Також, нам дано радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, і він дорівнює $8\sqrt{2}$.

Ми можемо скористатись співвідношенням для трикутника АВС:

$AB = \frac{2R}{\sin\angle B} = \frac{2 \cdot 8\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = 16$.

Тепер, ми можемо знайти сторону BD трикутника АВD:

$BD = \frac{2R}{\sin\angle D} = \frac{2 \cdot 8\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = 32$.

Тепер, щоб знайти радіус кола, описаного навколо трикутника АВD, ми можемо скористатись співвідношенням:

$R_{AVD} = \frac{AB \cdot BD \cdot AD}{4 \cdot Площа_{AVD}}$.

Ми знаємо $AB = 16$ і $BD = 32$, тому залишилось знайти лише сторону $AD$.

З теореми синусів для трикутника АСВ:

$\frac{AB}{\sin\angle AVB} = \frac{AV}{\sin\angle ABV}$.

Оскільки $\angle AVB = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$:

$\frac{16}{\sin 135^\circ} = \frac{AV}{\sin\angle ABV}$.

Тепер, щоб знайти $\sin\angle ABV$, ми знаємо, що $\angle ABV = \angle D$, тому:

$\sin\angle D = \frac{AV}{16} \Rightarrow AV = 16 \cdot \sin\angle D = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8$.

Тепер, ми можемо знайти $AD$ за теоремою Піфагора для трикутника АВD:

$AD = \sqrt{AV^2 + BD^2} = \sqrt{8^2 + 32^2} = \sqrt{64 + 1024} = \sqrt{1088}$.

Тепер, ми можемо знайти радіус $R_{AVD}$:

$R_{AVD} = \frac{AB \cdot BD \cdot AD}{4 \cdot Площа_{AVD}} = \frac{16 \cdot 32 \cdot \sqrt{1088}}{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD} = \frac{512 \cdot \sqrt{1088}}{16} = 32\sqrt{17}$