Question

Помогите пожалуйста решить задачу?! 1) lim (x стремится к бесконечности) (x/x+1)^2x-3 2) lim (x стремится к 0) (sin3x-sinx)/5x

Answer 1

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x+1-1}{x+1})^{2x+3}= \lim_{x \to \infty} ((1+\frac{1}{-(x+1)})^{-(x+1)})^{\frac{2x+3}{-(x+1)}} =\\\\=e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{-x-1}}=e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{3}{x}}{-1-\frac{1}{x}}}= e^{-2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{sin(3x)-sin(x)}{5x} =[\frac{0}{0}] = \lim_{x \to 0} \frac{3cos(3x)-cos(x)}{5}=\frac{3-1}{5} =0,4$

Answer 2

Конечный предел функции, когда аргумент стремится к бесконечности или к нулю, можно вычислить с помощью правил арифметических операций и алгебры пределов. Давайте посчитаем эти пределы по очереди:

1. Найдем предел функции (x/x+1)^(2x-3) при x стремится к бесконечности:

Для этого рассмотрим замену переменных: y = 1/x. Когда x стремится к бесконечности, y стремится к 0:

lim (x стремится к бесконечности) (x/x+1)^(2x-3) = lim (y стремится к 0) ((1/y)/(1/y+1))^(2/y-3)

Теперь упростим выражение:

= lim (y стремится к 0) ((1/y)/(1/y+1))^2 = lim (y стремится к 0) ((1/(y+1))^2)

Теперь вычислим предел:

= (1/(0+1))^2 = 1^2 = 1

Ответ: lim (x стремится к бесконечности) (x/x+1)^(2x-3) = 1

2. Найдем предел функции (sin3x-sinx)/5x при x стремится к 0:

Мы знаем, что lim (x стремится к 0) sin(x)/x = 1, поэтому можем воспользоваться этим свойством:

lim (x стремится к 0) (sin3x-sinx)/5x = lim (x стремится к 0) (3sin3x-3sinx)/(3*5x)

Теперь сократим числитель и знаменатель на 3:

= (1/5) * lim (x стремится к 0) (sin3x-sinx)/(3x)

Теперь вспомним, что lim (x стремится к 0) sin(x)/x = 1:

= (1/5) * (1/3) = 1/15

Ответ: lim (x стремится к 0) (sin3x-sinx)/5x = 1/15

Пожалуйста, обратите внимание, что решение предполагает использование стандартных пределов, которые могут быть изучены в курсе математического анализа.