Question

В конусе угол между высотой и образующей равен 60°. радиус основания равен Найдите площадь боковой поверхности конуса

Answer 1

Решение смотрите на фотографии....

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо знать формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. Пусть радиус основания конуса равен $r$, а длина образующей $l$.

Мы можем использовать триангуляцию для нахождения $l$ и затем вычислить площадь боковой поверхности.

1. По условию, у нас есть прямоугольный треугольник, где угол между высотой и образующей равен 60°. Образующая конуса служит гипотенузой этого треугольника, а высота — одним из катетов.

2. По определению, радиус основания $r$ — это другой катет этого прямоугольного треугольника.

3. Мы знаем, что угол между высотой и образующей равен 60°. Это значит, что угол между радиусом основания $r$ и образующей также равен 60°.

4. Теперь можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:

   $\sin(60°) = \frac{r}{l}$,

   где $l$ — длина образующей, $r$ — радиус основания.

   Также, мы знаем, что $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Решим уравнение для $l$:

   $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{l}$,

   $l = \frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,

   $l = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Теперь у нас есть выражение для длины образующей в зависимости от радиуса основания $r$. Давайте найдем площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{\text{бок}} = \pi r l$.

Теперь, подставим значение $l$:

$S_{\text{бок}} = \pi r \cdot \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

$S_{\text{бок}} = \frac{2\pi r^2}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна $\frac{2\pi r^2}{\sqrt{3}}$.