Question

2sin(2x+п/3)+ корень из 3 × sinx= sin2x + корень из трех. Корни указать от 2 п до 7п/2. Помогите пожалуйста очень срочно

Answer 1

2*sin2x*сosП/3 + 2cos2x*sinП/3 + √3*sinx=sin2x+√3
sin2x + √3cos2x  + √3*sinx=sin2x+√3
√3(1-2sin²x)  + √3*sinx=√3
√3-2√3sin²x  + √3*sinx - √3 = 0
-2√3sin²x  + √3*sinx = 0
-√3sinx*(2sinx-1)=0

1) sinx=0
x=πm, m∈Z

2) 2sinx-1=0
sinx=1/2
x=π/6+2πk, k∈Z
x=5π/6+2πn, n∈Z

Отбор корней на отрезке [2π; 7π/2]
m=1 x=π - не подходит
m=2 x=2π - подходит
m=3 x=3π - подходит
m=4 x=4π - не подходит


k=0 x=π/6 - не подходит
k=1 x=13π/6 - подходит
k=2 x=25π/6 - не подходит

n=0 x=5π/6 - не подходит
n=1 x=17π/6 - подходит
n=2 x=29π/6 - не подходит

Ответ:
а) x=πm, m∈Z
x=π/6+2πk, k∈Z
x=5π/6+2πn, n∈Z

б) 2π;3π;13π/6;17π/6

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом. Перепишем его для удобства:

$2\sin(2x+\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3}\sin(x) = \sin(2x) + \sqrt{3}$

Заметим, что уравнение содержит сумму углов, что дает нам подсказку о применении тригонометрических тождеств. Начнем преобразовывать:

1. Заменим $\sin(2x)$ на $2\sin(x)\cos(x)$:

$2\sin(2x+\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3}\sin(x) = 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}$

2. Заменим $\sin(2x+\frac{\pi}{3})$ на $\sin(2x)\cos(\frac{\pi}{3})+\cos(2x)\sin(\frac{\pi}{3})$:

$2(\sin(2x)\cos(\frac{\pi}{3})+\cos(2x)\sin(\frac{\pi}{3})) + \sqrt{3}\sin(x) = 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}$

3. Упростим дальше, зная, что $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin(2x)\ + \sqrt{3}\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(x) = 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}$

4. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3} = 0$

5. Теперь преобразуем левую часть уравнения:

$\sin(2x) - 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}(\cos(2x) - 1) = 0$

6. Используем тригонометрические тождества для $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$:

$2\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}(2\cos^2(x) - 1) = 0$

7. Упростим дальше:

$\sqrt{3}(2\cos^2(x) - 1) = 0$

Теперь у нас есть уравнение для $\cos(x)$. Найдем его корни:

$2\cos^2(x) - 1 = 0$ $2{\cos }^2(x)=1$ 0 0