Question

Курс акций компании каждый день ровно в 12 час повышается или понижается на n процентов, где n – целое положительное число, меньшее 100. Курс не округляется. Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение? Ответ обоснуйте.

Answer 1

. Условие, что выражение равно единице, можно записать так:

(100 + n)k(100 - n)l = 100k + l.

Так как правая часть четна, то и левая часть должна быть четна, значит, n четно. Аналогично, левая часть делится на 5, значит, n делится на 5. Значит, n делится на 10. Можно перебрать все 9 возможных вариантов: n = 10, 20, ..., 90. Например, если n = 10, то левая часть делится на 11, что невозможно.

Можно обойтись без перебора: пусть n не делится на 25. Тогда числа 100 - n и 100 + n тоже не делятся на 25. Значит, пятерка входит в разложение левой части на простые множители ровно k + l раз. Но она входит в разложение правой части 2(k + l ) раз -- противоречие. Итак, n делится на 25. Аналогично доказывается, что n делится на 4. Но тогда n делится на 100, что невозможно, ибо 0 < n < 100.

Answer 2

Да, существуют такие значения n, при которых курс акций может дважды принять одно и то же значение. Это происходит из-за того, что значения курса акций повторяются циклически.

Допустим, текущий курс акций равен P. После повышения на n процентов, курс станет (P + P * n / 100). Затем, если он понижается на те же n процентов, курс станет (P + P * n / 100 - P * n / 100) = P. Таким образом, после двух операций повышения и понижения на n процентов, курс акций снова станет равным P.

Поэтому, если мы найдем целое положительное значение n, которое приводит к тому, что (P + P * n / 100) имеет такое же значение, как P, то мы найдем такое n, при котором курс акций будет принимать одно и то же значение дважды.

Для примера, рассмотрим случай n = 50. Если текущий курс акций P = 100, то после повышения на 50% курс станет (100 + 100 * 50 / 100) = 150. Затем, если он понижается на 50%, курс станет (150 - 150 * 50 / 100) = 75. Таким образом, курс акций достигнет значения 75 после двух операций повышения и понижения на 50%.

Таким образом, ответ: существует бесконечно много значений n, при которых курс акций может дважды принять одно и то же значение. В данном примере n = 50, но таких значений n бесконечное множество.