Question

Найдите область определения функции: корень квадратный из (15+2х-х2)/(х-2).

Answer 1

Область определения √(15+2x-x^2)/(x-2)≥0 Т. к. это дробь, то х-2≠0.  х≠2
Дробь не отрицательна, если числитель и знаменатель одного   знака, т.е. получим 2-е системы неравенств
15+2х-x^2≥0                     15+2x-x^2≤0
 x-2>0                                x-2<0
Найдем корни трехчлена 15+2х-x^2=0.   D=4-4*15*(-1)=64
x1=(-2+8)/2=3.    x2=(-2-8)/2=-5.   
-x^2+2x+15≥0     x∉|-3,5| 
 x-2>0                 x∈(2,+∞)   общее решение х∈(2;5|         
 -x^2+2x+15≤0    x∈(-∞,-3|∪|5,+∞) 
 x-2<0                  x∈(-∞,2)      общее решение х∈(-∞;-3|                                  Ответ:  (-∞;-3|∪(2,5|  -вроде бы так

          

Answer 2

Чтобы найти область определения функции, нужно определить, при каких значениях аргумента (х) функция имеет смысл и не приводит к делению на ноль или извлечению отрицательного числа из корня.

Итак, у нас дана функция: f(x) = √((15 + 2x - x^2) / (x - 2))

Обратим внимание на две возможные проблемы:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, чтобы избежать комплексных чисел (мнимых чисел) в результате.

Давайте рассмотрим эти два условия:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: x - 2 ≠ 0

Решим уравнение: x ≠ 2

2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: 15 + 2x - x^2 ≥ 0

Для нахождения интервалов, где это неравенство выполняется, найдем корни уравнения:

15 + 2x - x^2 = 0

Для этого нам нужно представить уравнение в канонической форме (форма квадратного трехчлена):

x^2 - 2x - 15 = 0

Теперь решим уравнение:

(x - 5)(x + 3) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 5 и x = -3.

Теперь определим интервалы, где выражение под корнем положительно:

15 + 2x - x^2 > 0

Это будет выполняться для значений х, которые находятся между корнями уравнения -3 и 5:

-3 < x < 5

Таким образом, область определения функции - это интервал (-3, 2) объединенный с интервалом (2, 5):

Область определения: (-3, 2) U (2, 5)