Question

Найди вторую производную y=-lnctg 2x

Answer 1

Y'=-1/(ctg2x))*(ctg2x)'=1/(ctg2x)*1/(sin²2x)*
(2x)'=2/(ctg2x*sin²2x=2/(cos2x*sin2x)=
4/(sin4x)
y'=-4/sin²4x*(sin4x)'=-16cos4x/sin²4x

Answer 2

Для нахождения второй производной функции y = -ln(ctg(2x)) сначала найдем первую производную, а затем возьмем производную от нее.

Дано: y = -ln(ctg(2x))

Первая производная: y' = d/dx (-ln(ctg(2x)))

Для нахождения производной от логарифма считаем как (1/u) * du/dx, где u = ctg(2x):

y' = -(1/ctg(2x)) * d/dx(ctg(2x))

Теперь находим производную ctg(2x):

d/dx(ctg(2x)) = -csc^2(2x) * d/dx(2x) = -csc^2(2x) * 2

Теперь подставляем найденную производную ctg(2x) обратно в первую производную:

y' = -(1/ctg(2x)) * (-csc^2(2x) * 2) = 2csc^2(2x)/ctg(2x)

Теперь находим вторую производную, для чего снова берем производную от y':

y'' = d/dx(2csc^2(2x)/ctg(2x))

Считаем производную как (u'/v - u * v') / v^2, где u = 2csc^2(2x) и v = ctg(2x):

y'' = (2csc^2(2x)' * ctg(2x) - 2csc^2(2x) * ctg(2x)') / (ctg(2x))^2

Считаем производные компонентов:

csc(2x) = 1/sin(2x)

csc^2(2x) = (1/sin(2x))^2 = 1/sin^2(2x)

csc^2(2x)' = -2 * (1/sin^2(2x)) * cos(2x) * 2 = -4cotg(2x)csc^2(2x)

ctg(2x) = 1/tan(2x) = cos(2x)/sin(2x)

ctg(2x)' = -2 * (cos(2x)/sin^2(2x))

Теперь подставляем значения обратно в выражение для y'':

y'' = (2 * (-4cotg(2x)csc^2(2x)) * ctg(2x) - 2csc^2(2x) * (-2 * (cos(2x)/sin^2(2x)))) / (ctg(2x))^2

y'' = (-8cotg(2x)csc^2(2x) * ctg(2x) + 4csc^2(2x) * (cos(2x)/sin^2(2x))) / (ctg(2x))^2

y'' = (4csc^2(2x) * (cos(2x)/sin^2(2x)) - 8cotg(2x)csc^2(2x) * ctg(2x)) / (ctg(2x))^2

y'' = (4csc^2(2x) * (cos(2x)/sin^2(2x)) - 8cotg^2(2x)csc^2(2x)) / (ctg(2x))^2

Итак, вторая производная функции y = -ln(ctg(2x)) равна:

y'' = (4csc^2(2x) * (cos(2x)/sin^2(2x)) - 8cotg^2(2x)csc^2(2x)) / (ctg(2x))^2