Question

Помогите пожалуйста 1 + 4cos^2(x) = 3sin(2x)

Answer 1

$1+4cos^2x=3sin2x\\sin^2x+cos^2x+4cos^2x=3*2sinxcosx\\sin^2x+5cos^2x-6sinxcosx=0\\sin^2x-6sinxcosx+5cos^2x=0\\ \frac{sin^2x}{cos^2x}- \frac{6sinxcosx}{cos^2x}+ \frac{5cos^2x}{cos^2x}=0\\tg^2x-6tgx+5=0\\tgx=a\\a^2-6a+5=0\\1)a_1=1\\tgx=1\\x= \frac{ \pi }{4}+ \pi k\\2)a_2=5\\tgx=5\\x=arctg5+ \pi k$
УДАЧИ ВАМ ВО ВСЁМ)))!!!

Answer 2

Давайте решим уравнение 1 + 4cos^2(x) = 3sin(2x) шаг за шагом:

1. Используем тригонометрические тождества: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

2. Подставим тождества в исходное уравнение: 1 + 4(1 - sin^2(x)) = 3(2sin(x)cos(x))

3. Раскроем скобки: 1 + 4 - 4sin^2(x) = 6sin(x)cos(x)

4. Перенесем все члены в левую сторону уравнения: 4sin^2(x) + 6sin(x)cos(x) - 3 = 0

5. Попробуем представить левую часть уравнения как квадратный трехчлен: 4sin^2(x) + 6sin(x)cos(x) - 3 = (2sin(x) + c)^2 - d, где c и d - некоторые константы, которые нам нужно найти.

6. Раскроем квадрат: (2sin(x) + c)^2 - d = 4sin^2(x) + 4csin(x) + c^2 - d

7. Сравним коэффициенты при sin^2(x) и sin(x) в левой и правой частях уравнения: 4sin^2(x) = 4sin^2(x) => 4c = 0 => c = 0

8. Теперь у нас есть: (2sin(x))^2 - d = 4sin^2(x) - d = 4sin^2(x) - 3

9. Сравним свободные члены уравнения: -d = -3 => d = 3

Таким образом, уравнение можно переписать как: (2sin(x))^2 - 3 = 0

10. Решим полученное квадратное уравнение относительно 2sin(x): (2sin(x))^2 = 3 4sin^2(x) = 3 sin^2(x) = 3/4

11. Найдем sin(x): sin(x) = ±√(3/4) = ±√3/2

12. Теперь найдем значения x, учитывая, что sin(x) = ±√3/2: a) Когда sin(x) = √3/2: x = π/3 + 2πn, где n - любое целое число.

    б) Когда sin(x) = -√3/2: x = 2π/3 + 2πn, где n - любое целое число.

Таким образом, решения уравнения 1 + 4cos^2(x) = 3sin(2x) это: x = π/3 + 2πn, где n - любое целое число, или x = 2π/3 + 2πn, где n - любое целое число.