Question

Найти кривые, у которых тангенс угла  между касательной и положительным направлением оси Оx обратно пропорционально абсциссе точки касания. Построить кривую, проходящую через точку (е;1).

Answer 1

Y`=1/x
y=∫(1/x)dx=lnx+C-уравнение кривой
Подставлю точку (e;1) и найду С
1=lne+C=1+C; C=0
y=lnx-уравнение кривой

Answer 2

Для нахождения кривых, у которых тангенс угла α между касательной и положительным направлением оси Ox обратно пропорционален абсциссе точки касания, нужно найти уравнение кривой, удовлетворяющей данному условию.

Пусть P(x, y) - точка на кривой, а α - угол между касательной к кривой и положительным направлением оси Ox. Тогда тангенс угла α определяется как dy/dx.

Дано, что тангенс угла α обратно пропорционален абсциссе точки P(x, y), что можно записать в виде:

dy/dx ∝ 1/x

Теперь интегрируем это уравнение. Интегрируя обе стороны, получим:

∫(1/y) dy = ∫(1/x) dx

ln|y| = ln|x| + C

где C - константа интегрирования.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|y| = e^(ln|x| + C)

Мы знаем, что y > 0, так как тангенс угла α будет положителен в данном контексте (между касательной и положительным направлением оси Ox). Поэтому модуль здесь не нужен.

y = e^(ln|x| + C)

y = e^(ln|x|) * e^C

Так как e^C - это просто некоторая другая константа, обозначим ее за K:

y = K * e^(ln|x|)

Используем свойство экспоненты: e^(ln|x|) = |x|

Теперь окончательное уравнение кривой:

y = K * |x|

Теперь, чтобы найти значение K, подставим координаты точки (e, 1):

1 = K * |e|

Так как e > 0, то |e| = e

Подставим e:

1 = K * e

Таким образом, K = 1/e.

Таким образом, уравнение кривой, проходящей через точку (e, 1), будет:

y = (1/e) * |x|

Это уравнение представляет собой кривую, у которой тангенс угла между касательной и положительным направлением оси Ox обратно пропорционален абсциссе точки касания.