Question

Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють 2-√3 і 2 + √3.

Answer 1

Решение:
1) Если числа  $x_{1}$ и  $x_{2}$ таковы, что  $x_{1} + x_{2} = - p,$ а  $x_{1} * x_{2} = q,$, то  $x_{1}$ и  $x_{2}$ являются корнями приведённого квадратного уравнения  $x^{2} + px + q = 0$
2) $- p = x_{1} + x_{2} = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4$
$p = - 4$
3)  $q = x_{1} * x_{2} = (2 - \sqrt{3})*(2 + \sqrt{3}) = 2^{2} - ( \sqrt{3} )^{2} = 4 - 3 = 1$
5)  $x^{2} - 4x + 1 = 0$ - искомое уравнение.
Ответ:   $x^{2} - 4x + 1 = 0$

Answer 2

Щоб скласти квадратне рівняння з заданими коренями, досить знати, що корені квадратного рівняння відповідають його множникам. Таким чином, якщо маємо корені 2-√3 та 2+√3, рівняння має наступний вигляд:

(x - (2 - √3))(x - (2 + √3)) = 0

Розкриваємо дужки:

(x - 2 + √3)(x - 2 - √3) = 0

Тепер, щоб перетворити це рівняння у звичайний вигляд, розкриваємо дужки:

x^2 - 2x - √3x - 2x + 4 + 2√3 = 0

Згрупуємо подібні доданки:

x^2 - 4x + 4 - √3x + 2√3 = 0

Остаточний вигляд квадратного рівняння з заданими коренями 2-√3 та 2+√3:

x^2 - (4 + √3)x + 4 - 2√3 = 0