Question

Помогите решить дифференциальное уравнение y ꞌꞌ + 2 yꞌ+y=6e^(-x)

Answer 1

Я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, можно воспользоваться методом Лапласа. Сначала найдем преобразование Лапласа для каждого члена уравнения, а затем решим полученное алгебраическое уравнение относительно преобразования Лапласа функции y(x), а затем произведем обратное преобразование Лапласа для полученной функции.

Преобразование Лапласа для производной y'(x): L[y'] = sY(s) - y(0)

Преобразование Лапласа для второй производной y''(x): L[y''] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)

Теперь применим преобразование Лапласа к каждому члену уравнения:

L[y''] + 2L[y'] + L[y] = 6L[e^(-x)]

Подставим выражения для преобразования Лапласа:

s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2(sY(s) - y(0)) + Y(s) = 6/(s+1)

Теперь объединим подобные члены:

(s^2 + 2s)Y(s) - sy(0) - y'(0) - 2y(0) = 6/(s+1)

Теперь выразим Y(s):

Y(s) = [6/(s+1) + sy(0) + y'(0) + 2y(0)] / (s^2 + 2s)

Теперь нужно найти обратное преобразование Лапласа для Y(s) и получить решение y(x). Однако перед этим у нас должны быть начальные условия (значения y и y' в начальный момент времени).

Предположим, что начальные условия следующие:

y(0) = a (некоторая константа) y'(0) = b (некоторая константа)

Теперь найдем обратное преобразование Лапласа для Y(s):

L^(-1)[Y(s)] = L^(-1)[[6/(s+1) + sy(0) + y'(0) + 2y(0)] / (s^2 + 2s)]

L^(-1)[Y(s)] = L^(-1)[6/(s+1)] + L^(-1)[sy(0)] + L^(-1)[y'(0)] + L^(-1)[2y(0)] - L^(-1)[s/(s^2 + 2s)]

Теперь найдем обратные преобразования Лапласа для каждого члена:

L^(-1)[6/(s+1)] = 6e^(-x)

L^(-1)[sy(0)] = y(0) = a

L^(-1)[y'(0)] = y'(0) = b

L^(-1)[2y(0)] = 2y(0) = 2a

L^(-1)[s/(s^2 + 2s)] = e^(-x)

Теперь объединим все вместе:

y(x) = 6e^(-x) + a + b + 2a - e^(-x)

y(x) = (a + b + 2a) + (6 - 1)e^(-x)

y(x) = 3a + b + 5e^(-x)

Таким образом, решением дифференциального уравнения является функция:

y(x) = 3a + b + 5e^(-x)