Question

Дана функция f(x) =4+2x²-x⁴ А) найдите промежутки возрастания и убыванияБ) ее точки максимума и минимума В) наибольшее и наименьшее значения на промежутке [-2;3]

Answer 1

Y'=4x-4x³
y'=0
4x(1-x²)=0
х=0 х=-1 х=1 точки экстремума
нанесем корни на числовую ось и определим знаки у' в каждом интервале
у'                +                  -                    +                -
---------------------------------------------------------------------------
                          -1                  0                   1
y   возрастает       убывает       возрастает

в точках х=-1 и х=1  максимум 
в точке х=0  минимум
 
f(-2)=4+8-16=-4
f(-1)=4+2-1=5
f(0)=4
f(1)=f(-1)=5
минимальное значение - 4 
максимальное значение 5

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобятся основные методы дифференциального исчисления. Начнем с анализа функции f(x) = 4 + 2x² - x⁴.

1. Найдем производную функции f'(x) и определим интервалы возрастания и убывания функции: f(x) = 4 + 2x² - x⁴ f'(x) = d/dx(4 + 2x² - x⁴) = 4x - 4x³

Для определения интервалов возрастания и убывания найдем критические точки функции, то есть значения x, при которых f'(x) = 0: 4x - 4x³ = 0 4x(1 - x²) = 0

Таким образом, критическими точками являются x = 0, x = 1 и x = -1.

Составим таблицу знаков производной f'(x) на интервалах, разбивая числовую прямую на отрезки между критическими точками: x < -1 | -1 < x < 0 | 0 < x < 1 | x > 1

f'(x) | - | + | - | +

Из таблицы видно, что функция возрастает на интервалах (-1, 0) и (1, +∞), и убывает на интервале (-∞, -1).

2. Найдем точки максимума и минимума функции: Точки экстремума могут быть только в критических точках и на концах интервала, который ограничивает заданный промежуток [-2, 3].

а) На интервале [-2, 3] критические точки находятся в x = -1 и x = 1. б) Возможные точки экстремума на концах интервала: x = -2 и x = 3.

Для определения, являются ли найденные точки экстремума точками минимума или максимума, нужно проанализировать значения функции на этих точках и в окрестностях.

Вычислим значения функции в критических точках и на концах интервала:

f(-1) = 4 + 2(-1)² - (-1)⁴ = 5 f(1) = 4 + 2(1)² - (1)⁴ = 5 f(-2) = 4 + 2(-2)² - (-2)⁴ = 20 f(3) = 4 + 2(3)² - (3)⁴ = -50

Таким образом, на интервале [-2, 3]:

• Минимум функции равен -50 и достигается в точке x = 3.
• Максимум функции равен 20 и достигается в точке x = -2.

3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [-2, 3]. Наибольшее значение функции на данном промежутке равно 20 и достигается в точке x = -2 (максимум). Наименьшее значение функции на данном промежутке равно -50 и достигается в точке x = 3 (минимум).