Question

Провести полное исследование функций по схеме: 1. Область определения функции. 2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты. 3. Точки пересечения функции с осями координат. 4. Четность, нечетность. 5. Периодичность. 6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции. 7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба. 8. Наклонные асимптоты. 9. Построение графика. y = x lnx; (х-1)^2\x Один на выбор

Answer 1

Анализ функции y = (х-1)^2/x и построение её графика приведены в приложении.

Answer 2

Давайте проведем полное исследование функции y = x ln(x) и выясним все указанные характеристики.

Функция: y = x ln(x)

1. Область определения функции: Логарифм натурального числа определен только для положительных чисел. Поэтому, чтобы избежать отрицательного аргумента в ln(x), область определения функции будет положительными действительными числами: x > 0.

2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: Функция y = x ln(x) непрерывна на своей области определения. В данном случае нет вертикальных асимптот, так как функция ограничена областью x > 0.

3. Точки пересечения функции с осями координат:

   • Ось x: y = 0 при x = 1 (так как ln(1) = 0).
   • Ось y: Нет точек пересечения с осью y.

4. Четность, нечетность: Функция y = x ln(x) не является ни четной, ни нечетной, так как не обладает симметрией относительно начала координат.

5. Периодичность: Функция y = x ln(x) не обладает периодичностью.

6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции: Для определения промежутков возрастания и убывания, возьмем производную функции: y = x ln(x) y' = ln(x) + 1

   Производная равна нулю при x = 1. В этой точке функция меняет направление роста (с убывания на возрастание), значит, это точка минимума.

   Промежуток возрастания: (0, 1) Промежуток убывания: (1, ∞) Минимум: (1, 0)

7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба: Вторая производная функции: y'' = 1/x

   Вторая производная положительна на всей области определения (x > 0), следовательно, функция выпуклая на всей области определения. Так как у функции нет изменения выпуклости, нет точек перегиба.

8. Наклонные асимптоты: Функция y = x ln(x) не имеет наклонных асимптот, так как она ограничена областью x > 0 и не стремится к бесконечности.

9. Построение графика: Приложен график функции y = x ln(x).

На графике видно, как функция растет на промежутке (0, 1), имеет минимум в точке (1, 0), и затем продолжает расти на промежутке (1, ∞). График является выпуклым вверх на всей своей области определения.