Question

Найти экстремумы функций y=8/x+x/8

Answer 1

Как-то так, возможно.....

Answer 2

Для того чтобы найти экстремумы функции $y = \frac{8}{x} + \frac{x}{8}$, нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю. Эти точки могут быть кандидатами на экстремумы (максимумы или минимумы).

Шаги для нахождения экстремумов:

Шаг 1: Найти производную функции $y$ по переменной $x$. Шаг 2: Приравнять производную к нулю и решить уравнение, чтобы найти значения $x$. Шаг 3: Подставить найденные значения $x$ в исходную функцию $y$ и найти соответствующие значения $y$.

Теперь давайте выполним эти шаги.

Шаг 1: Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:

$y = \frac{8}{x} + \frac{x}{8}$

Для удобства записи можно представить функцию в виде:

$y = 8x^{-1} + \frac{1}{8}x$

Теперь найдем производную:

$\frac{dy}{dx} = -8x^{-2} + \frac{1}{8}$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение, чтобы найти значения $x$:

$-8x^{-2} + \frac{1}{8} = 0$

$8x^{-2} = \frac{1}{8}$

$x^{-2} = \frac{1}{64}$

Теперь возведем обе стороны уравнения в -1 (возведение в -1 равносильно взятию обратного значения):

$x^2 = 64$

$x = \pm 8$

Шаг 3: Найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию $y$:

a) При $x = 8$:

$y = \frac{8}{8} + \frac{8}{8} = 1 + 1 = 2$

b) При $x = -8$:

$y = \frac{8}{-8} + \frac{-8}{8} = -1 - 1 = -2$

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: $x = 8$ и $x = -8$. Теперь остается только проверить, являются ли эти точки экстремумами.

Для этого воспользуемся второй производной. Если вторая производная в точке $x$ положительна, то это точка минимума, если отрицательна - то максимума. Если вторая производная равна нулю или не существует, этот метод не дает ответа, и требуется проводить дополнительные исследования.

Шаг 4: Найдем вторую производную функции $y$ по переменной $x$:

$\frac{d^2y}{dx^2} = 16x^{-3}$

Теперь найдем значение второй производной в каждой из кандидатских точек:

a) При $x = 8$:

$\frac{d^2y}{dx^2} = 16(8^{-3}) = 16 \cdot \frac{1}{512} = \frac{1}{32} > 0$

b) При $x = -8$:

$\frac{d^2y}{dx^2} = 16((-8)^{-3}) = 16 \cdot \frac{1}{(-512)} = -\frac{1}{32} < 0$

Итак, имеем следующий результат:

• В точке $x = 8$ вторая производная положительна, поэтому это точка минимума.
• В точке $x = -8$ вторая производная отрицательна, поэтому это точка максимума.

Таким образом, у функции $y = \frac{8}{x} + \frac{x}{8}$ есть один минимум при $x = 8$ и один максимум при $x = -8$ 0 0