Question

Интеграл 3x^2dx/(1+2x^3)^2 Посчитать Методом замены переменной

Answer 1

Ловите решение.
Заменяем выражение под квадратом в знаменателе. дифференцируем. При подстановке выраженного через dt дифференциала dx, 3x^2 в числителе сократится со знаменателем. Дальше интегрируем как обычную степенную функцию с отрицательным показателем степени. И затем обратная замена.
Удачи!

Answer 2

Для вычисления данного интеграла методом замены переменной, нам нужно сделать подходящую замену, которая приведет выражение к более простому виду. Для этого предлагаю выполнить следующую замену:

Пусть $u = 1 + 2x^3$. Тогда $du = 6x^2 dx$.

Теперь мы можем заменить в исходном интеграле:

$\int \frac{3x^2}{(1 + 2x^3)^2} dx = \frac{1}{6} \int \frac{du}{u^2}$

Теперь интеграл стал намного проще. Проинтегрируем:

$\frac{1}{6} \int \frac{du}{u^2} = - \frac{1}{6u} + C$

Наконец, вернемся к исходной переменной:

$\int \frac{3x^2}{(1 + 2x^3)^2} dx = - \frac{1}{6(1 + 2x^3)} + C$

Где C - это константа интегрирования. Таким образом, мы нашли окончательное выражение для интеграла.