Question

Вычисление площади фигуры ограниченной линиями y=1/x, x=2.5, y=x

Answer 1

S=s1+s2

s1 это площадь прямоугольного треугольника с катетами 1;1
s1=1*1/2=1/2=0,5

    ₂.₅               ₂.₅ 
s2=∫ 1/xdx=(lnx)=ln2,5-ln1=ln2,5
     ¹                  ¹

s=0.5+ln2.5

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=1/x, x=2.5 и y=x, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения линий.
2. Определить, какая из функций находится выше в заданном интервале.
3. Вычислить интеграл от функции, которая находится выше, на заданном интервале.

Шаг 1: Найдем точки пересечения линий.

Для y=1/x и y=x: 1/x = x x^2 = 1 x = ±√1

Таким образом, точки пересечения линий - (1, 1) и (-1, -1).

Шаг 2: Определим, какая функция находится выше в заданном интервале.

Нам нужно определить, между какими значениями x функции находятся внутри фигуры. На основании графика, легко видеть, что x меняется от -1 до 2.5. Мы видим, что в этом интервале функция y=1/x находится выше функции y=x. Вне этого интервала функции меняются, и на протяжении от -1 до 1 функция y=x находится выше.

Шаг 3: Вычислим интеграл от функции, которая находится выше, на заданном интервале.

Интеграл для функции y=1/x на интервале [-1, 2.5]:

∫(1/x) dx = ln|x| + C

Теперь вычислим значение интеграла на данном интервале:

∫(1/x)dx = [ln|x|] from -1 to 2.5 = [ln|2.5|] - [ln|-1|] = ln(2.5) - ln(1) (ln|-1| = ln(1) = 0, так как абсолютное значение -1 равно 1) ≈ 0.916

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x, x=2.5 и y=x, составляет примерно 0.916 квадратных единиц.