Question

Найдите корни уравнения (sinx-cosx)^2, принадлежащие отрезку [0;2П]

Answer 1

Возводим в квадрат, воспольуемся основным тригонометрическим тождеством свернем синус двойного угла. Определим корни на числовой окружности

Answer 2

Для нахождения корней уравнения $(\sin x - \cos x)^2$ на отрезке $[0; 2\pi]$, нам нужно решить уравнение:

$(\sin x - \cos x)^2 = 0$

Начнем с раскрытия квадрата:

$(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x$

Заметим, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (тригонометрическая тождество), поэтому:

$(\sin x - \cos x)^2 = 1 - 2\sin x\cos x$

Теперь приравняем полученное выражение к нулю:

$1 - 2\sin x\cos x = 0$

Теперь решим это уравнение относительно $\sin x \cos x$:

$\sin x \cos x = \frac{1}{2}$

Так как мы знаем, что $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть больше 1 по модулю, то можем ограничиться только положительными значениями, которые могут дать произведение $\sin x \cos x = \frac{1}{2}$:

1. $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\cos x = 1$, но это невозможно, так как $\cos x$ не может быть равно 1.
2. $\sin x = 1$ и $\cos x = \frac{1}{2}$, это возможно при $x = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, единственным корнем уравнения $(\sin x - \cos x)^2 = 0$ на отрезке $[0; 2\pi]$ является $x = \frac{\pi}{2}$.