Question

Найдите общее решение уравнения xy'=y+1

Answer 1

Пожалуйста, решение вашего уравнения.
Поскольку это ДУ с разделяющимися переменными мы переписываем производную как отношение дифференциалов, далее разделяем переменные и соответствующие дифференциалы. Интегрируем обе части. Константу интегрирования вносим под логарифм для того, чтобы получить решение наиболее простого вида.
Решением будет являться семейство линейных функций вида
y=cx-1
Удачи вам!

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения xy' = y + 1, следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду Перепишем уравнение с помощью раздельных переменных:

dy/(y + 1) = dx/x

Шаг 2: Интегрирование Проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/(y + 1)) dy = ∫(1/x) dx

Это приведет нас к следующему:

ln|y + 1| = ln|x| + C, где С - константа интегрирования.

Шаг 3: Разрешение относительно y Теперь разрешим уравнение относительно y:

|y + 1| = |x| * e^C

Поскольку e^C является положительной константой, мы можем заменить ее другой константой, назовем ее K:

|y + 1| = K * |x|

Шаг 4: Выражение для y Теперь рассмотрим два случая:

1. Если y + 1 >= 0 (т.е. y >= -1), тогда |y + 1| = y + 1:

y + 1 = K * x

Теперь разрешим уравнение относительно y:

y = K * x - 1

2. Если y + 1 < 0 (т.е. y < -1), тогда |y + 1| = -(y + 1):

-(y + 1) = K * x

Теперь разрешим уравнение относительно y:

y = -K * x - 1

Итак, мы получили два различных выражения для y в зависимости от значения константы K.

Таким образом, общее решение уравнения xy' = y + 1 имеет вид:

y = K * x - 1 (для y >= -1) y = -K * x - 1 (для y < -1)

где K - произвольная константа.