Question

Помогите решить, пожалуйста Надо найти экстремумы функции  y = 1/3x^3 - 3x^2 + 5x + 5

Answer 1

Ловите решение. Берём первую производную, она определена везде как и функция, следовательно, критические точки будут только при y'=0.
Решаем квадратное уравнение, убеждаемся, что проходя через каждую точку производная меняет знак=> точка экстремума.
Удачи!

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции необходимо найти точки, в которых производная функции равна нулю. Экстремумы могут быть максимумами или минимумами функции.

1. Начнем с данной функции: y = (1/3)x^3 - 3x^2 + 5x + 5

2. Найдем производную функции по переменной x: y' = d/dx [(1/3)x^3 - 3x^2 + 5x + 5] y' = x^2 - 6x + 5

3. Найдем точки, где производная равна нулю: x^2 - 6x + 5 = 0

4. Решим квадратное уравнение: Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac где a = 1, b = -6, c = 5.

   D = (-6)^2 - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16

   Теперь найдем корни уравнения: x = (-b ± √D) / 2a x = (6 ± √16) / 2 x = (6 ± 4) / 2 x₁ = (6 + 4) / 2 = 5 x₂ = (6 - 4) / 2 = 1

5. Теперь у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x = 5 и x = 1.

6. Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, а также его тип (максимум или минимум), проанализируем вторую производную функции.

7. Найдем вторую производную функции: y'' = d^2/dx^2 (x^2 - 6x + 5) y'' = 2x - 6

8. Подставим значения x = 5 и x = 1 во вторую производную:

   y''(x = 5) = 2 * 5 - 6 = 4 (положительное значение) y''(x = 1) = 2 * 1 - 6 = -4 (отрицательное значение)

9. Анализ второй производной:

   • Если y''(x) > 0, то функция имеет минимум в точке x.
   • Если y''(x) < 0, то функция имеет максимум в точке x.

Таким образом:

• При x = 5 функция имеет минимум, так как y''(5) > 0.
• При x = 1 функция имеет максимум, так как y''(1) < 0.

Таким образом, экстремумы функции y = (1/3)x^3 - 3x^2 + 5x + 5:

• Минимум при x = 5 (5, -5)
• Максимум при x = 1 (1, 8)

Минимальное значение функции равно -5, а максимальное значение равно 8.