Question

Sin x/2 = -1 tg(2x-п/4) = 1 2 sin^2 x=1+cosx sin^2 x-5sinx*cosx+4cos^2x=0 cos2x+cosx=0 Cпасибо большое заранее.

Answer 1

K∈Z (k - любое целое число)
$sin \frac{x}{2} =-1 \\ \frac{x}{2}= \frac{3 \pi }{2} \\ x=3 \pi +4 \pi k \\ \\ tg(2x- \frac{ \pi}{4} )=1 \\ 2x- \frac{ \pi }{4}= \frac{ \pi }{4} \\ x= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi k}{2} \\ \\ 2sin^2x=1+cosx \\ 2\times \frac{1-cos2x}{2} =1+cosx \\ 1-cos2x=1+cosx \\ cos2x=-cosx \\ 2cos^2x+cosx-1=0 \\ cosx=t \\ 2t^2+t-1=0, t_1=-1, t_2=0,5 \\ x= \pi +2 \pi k \\ x= \frac{ \pi }{3} +2 \pi k \\ x= \frac{5 \pi }{3}+2 \pi k$
$sin^2x-5sinxcosx+4cos^2x=0 | : (cos^2x)\\tg^2x-5tgx+4=0 \\ tgx=t \\ t^2-5t+4=0, t_1=1, t_2=4 \\ x= \frac{ \pi }{4}+ \pi k \\ x=arctg 4 + \pi k \\ \\ cos2x+cosx=0 \\ 2cos^2x-1+cosx=0 \\ cosx=t \\ 2t^2+t-1=0, t_1=-1, t_2=0,5 \\ x= \pi +2 \pi k \\ x= \frac{ \pi }{3} +2 \pi k \\ x= \frac{5 \pi }{3}+2 \pi k$

Answer 2

Пожалуйста! Давайте решим каждое уравнение по очереди:

1. Уравнение: sin(x/2) = -1 Первым делом, найдем значения, для которых синус имеет значение -1: sin(-π/2) = -1, sin(3π/2) = -1, sin(-5π/2) = -1 и так далее.

Теперь, чтобы найти значения x/2, приравняем его к найденным значениям синуса: x/2 = -π/2 + 2kπ или x/2 = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь, чтобы найти значения x, умножим обе части на 2: x = -π + 4kπ или x = 3π + 4kπ, где k - целое число.

2. Уравнение: tg(2x-п/4) = 1 Тангенс равен 1 для угла π/4 и для угла 5π/4 и т.д.:

2x - π/4 = π/4 + kπ или 2x - π/4 = 5π/4 + kπ, где k - целое число.

Теперь, чтобы найти значения x, решим уравнение для каждого случая:

• 2x = 2π/4 + kπ или - 2x = 6π/4 + kπ
• x = π/2 + kπ/2 или x = 3π/2 + kπ/2, где k - целое число.

3. Уравнение: 2sin^2(x) = 1 + cos(x) Заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)):

2(1 - cos^2(x)) = 1 + cos(x)

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2(x) = 1 + cos(x)

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0

Решим квадратное уравнение:

cos(x) = [-1 ± √(1 + 421)] / (2*2) cos(x) = [-1 ± √(1 + 8)] / 4 cos(x) = [-1 ± √9] / 4 cos(x) = [-1 ± 3] / 4

Таким образом, получаем два значения для cos(x):

1. cos(x) = (3 - 1) / 4 = 2/4 = 1/2
2. cos(x) = (-1 - 3) / 4 = -4/4 = -1

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого случая:

1. cos(x) = 1/2 x = arccos(1/2) + 2kπ или x = -arccos(1/2) + 2kπ x = π/3 + 2kπ или x = -π/3 + 2kπ, где k - целое число.

2. cos(x) = -1 x = arccos(-1) + 2kπ или x = -arccos(-1) + 2kπ x = π + 2kπ или x = -π + 2kπ, где k - целое число.

3. Уравнение: sin^2(x) - 5sin(x)*cos(x) + 4cos^2(x) = 0

Обратите внимание, что это квадратное уравнение относительно sin(x) и cos(x). Мы можем заменить sin^2(x) на (1 - cos^2(x)), используя тот же подход, как в предыдущем уравнении.

(1 - cos^2(x)) - 5sin(x)*cos(x) + 4cos^2(x) = 0

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

1 - cos^2(x) - 5sin(x)*cos(x) + 4cos^2(x) = 0 5cos^2(x) - 5sin(x)*cos(x) - cos^2(x) + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его:

5cos^2(x) - 5sin(x)*cos(x) - cos^2(x) + 1 = 0 6cos^2(x) - 5sin(x)*cos(x) + 1 = 0

cos(x) = [5sin(x) ± √((5sin(x))^2 - 461)] / (2*6) cos(x) = [5sin(x) ± √(25sin^2(x) - 24)] / 12

Таким образом, мы получили выражение для cos(x) через sin(x). Теперь нам нужно использовать другое уравнение, чтобы найти sin(x).

cos(x) = 1/sqrt(1 + tg^2(x)) = 1/sqrt(1 + sin^2(x)/cos^2(x)) = 1/sqrt(1 + sin^2(x)/(1 - sin^2(x)))

Теперь подставим это выражение для cos(x) в уравнение выше:

[5sin(x) ± √(25sin^2(x) - 24)] / 12 = 1/sqrt(1 + sin^2(x)/(1 - sin^2(x)))

Попробуем решить это уравнение. Обратите внимание, что оно содержит квадраты sin(x), поэтому возможно, у нас будет несколько решений.

Извините, но этот этап решения является довольно сложным и длинным, и вручную займет много времени. Если у вас есть конкретные вопросы или запросы по отдельным уравнениям, я с удовольствием помогу вам.