Question

Нужно найти наименьшее значение функции y=x^3+3x^2-45x+1 на [-4,6]

Answer 1

Y`(x)=3x^2+6x-45
D=36-4*3*(-45)=576
x1=(-6+24)/6=18/6=3-является точкой экстремума
x2=(-6-24)/6=-5- не входит в интервал
Рассмотрим данную функцию
x=2
8+12-90+1=-69
x=3
27+27-135+1=-80
x=4
64+48-180+1=-67
Наименьшее значение функции при x=3
ymin=-80
Ответ:-80

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^3 + 3x^2 - 45x + 1$ на интервале $[-4, 6]$, нужно найти критические точки функции в этом интервале и проверить значения функции в этих точках, а также на границах интервала.

1. Найдем критические точки, которые являются точками экстремума функции. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции $y = x^3 + 3x^2 - 45x + 1$: $y' = 3x^2 + 6x - 45$.

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения $x$: $3x^2 + 6x - 45 = 0$.

2. Решим квадратное уравнение: $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Это уравнение можно факторизовать или решить с помощью дискриминанта. Путем факторизации получим: $(x + 5)(x - 3) = 0$.

Отсюда следует, что $x = -5$ или $x = 3$.

3. Теперь проверим значения функции в найденных критических точках и на границах интервала $[-4, 6]$.

Для $x = -5$: $y = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) + 1 = -125 + 75 + 225 + 1 = 176$.

Для $x = 3$: $y = 3^3 + 3(3)^2 - 45(3) + 1 = 27 + 27 - 135 + 1 = -80$.

Также вычислим значение функции на границах интервала: Для $x = -4$: $y = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 45(-4) + 1 = -64 + 48 + 180 + 1 = 165$.

Для $x = 6$: $y = 6^3 + 3(6)^2 - 45(6) + 1 = 216 + 108 - 270 + 1 = 55$.

4. Теперь сравним найденные значения:

• $y(-5) = 176$,
• $y(-4) = 165$,
• $y(3) = -80$,
• $y(6) = 55$.

Наименьшее значение функции $y$ на интервале $[-4, 6]$ равно $-80$. Оно достигается в точке $x = 3$.