Question

1. Скорость точки v(t)=2t^2+t м/с. Найдите путь, пройденный точкой с первой секунды по третью. 2. Скорость движения точки v(t)=36t-12t^2 м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до остановки

Answer 1

S= $\int\limits^3_1 {2t^2+t} \, dt = \frac{2t^3}{3}+ \frac{t^2}{2}$

При t=3
$\frac{2*3^3}{3}+ \frac{3^2}{2}=18+4.5=22.5$
При t=1
$\frac{2*1^3}{3}+ \frac{1^2}{2}=2/3+1/2=4/6+3/6=7/6=1.167 .$
S=22.5-1.167=21.333
Ответ: 21.333м
2. Находим время при котором происходит остановка v(t)=0
36t-12t^2=0
t(36-12t)=0
t1=0-не удовлетворяет условию задачи тело находилось в покое
36-12t=0
t=3
Находим интеграл
$\int\limits^3_0 {36t-12t^2} \, dt = 18t^2-4t^3$
При t=3
162-108=54
При t=0 Путь равен 0
Ответ:54м

Answer 2

Для нахождения пути, пройденного точкой за определенный промежуток времени, мы можем интегрировать скорость от начального момента времени до конечного.

1. Для скорости v(t) = 2t^2 + t м/с, нам нужно найти путь от t = 1 секунда до t = 3 секунды.

Интегрируем скорость по времени, чтобы получить путь (расстояние): s(t) = ∫(2t^2 + t) dt

s(t) = (2/3)t^3 + (1/2)t^2 + C

Где C - это постоянная интегрирования. Чтобы найти ее, подставим значения t = 1 и s(1) = 0 (начальная точка): 0 = (2/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2 + C 0 = 2/3 + 1/2 + C C = -2/3 - 1/2 C = -7/6

Теперь, чтобы найти путь от t = 1 до t = 3, вычислим s(3) и s(1), а затем найдем разницу:

s(3) = (2/3)(3)^3 + (1/2)(3)^2 - 7/6 s(3) = 18 + 9 - 7/6 s(3) = 153/6 s(3) = 25.5 метров

s(1) = (2/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2 - 7/6 s(1) = 2/3 + 1/2 - 7/6 s(1) = 5/6 метра

Путь, пройденный точкой с первой секунды по третью, составляет разницу между s(3) и s(1):

Путь = s(3) - s(1) = 25.5 - 5/6 ≈ 24.83 метра.

2. Для скорости v(t) = 36t - 12t^2 м/с, нам нужно найти путь от начала движения до момента остановки.

Точка остановится, когда скорость будет равна нулю: 0 = 36t - 12t^2 12t^2 = 36t t^2 = 3t t^2 - 3t = 0 t(t - 3) = 0

Отсюда получаем два возможных значения t: t = 0 (начало движения) и t = 3 (момент остановки).

Теперь найдем путь от t = 0 до t = 3, интегрируя скорость:

s(t) = ∫(36t - 12t^2) dt

s(t) = 18t^2 - 4t^3 + C

Подставим значения t = 0 и s(0) = 0 (начальная точка): 0 = 18(0)^2 - 4(0)^3 + C 0 = 0 + 0 + C C = 0

Теперь найдем путь от t = 0 до t = 3:

s(3) = 18(3)^2 - 4(3)^3 s(3) = 18(9) - 4(27) s(3) = 162 - 108 s(3) = 54 метра

Путь, пройденный точкой от начала движения до остановки, составляет s(3) = 54 метра.