Question

Укажите первообразную F функции f(x)=e^x-x^2,если F(0)=2

Answer 1

Найдем первообразную.

$\int{(e^x-x^2)}\,dx =e^x- \frac{x^3}{3}+C,\,C=Const.$

Теперь подставим точку F(0)=2 и найдём С.

$F(0)=e^0- \frac{0^3}{3}+C$

$F(0)=1+C$

По условию 1+С=2

С=2-1

С=1.

Значит получается, что 

$F(x)=e^x- \frac{x^3}{3}+1$ - это искомая функция.

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ для $f(x) = e^x - x^2$ с условием $F(0) = 2$, мы должны проинтегрировать $f(x)$ и затем найти постоянную интегрирования $C$ с использованием данного условия.

Итак, начнем с интегрирования функции $f(x)$:

$\int (e^x - x^2) dx = \int e^x dx - \int x^2 dx$

Для первого слагаемого $\int e^x dx$, интеграл равен самой функции $e^x$ с добавлением постоянной $C_1$:

$\int e^x dx = e^x + C_1$

Для второго слагаемого $\int x^2 dx$, используем формулу для интегрирования монома:

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_2$

Теперь, чтобы найти итоговую первообразную, суммируем результаты:

$F(x) = e^x + \frac{x^3}{3} + C$

где $C = C_1 + C_2$.

Используя условие $F(0) = 2$, подставим $x = 0$ в $F(x)$ и решим для $C$:

$F(0) = e^0 + \frac{0^3}{3} + C = 1 + 0 + C = 2$

Отсюда находим $C = 1$.

Итак, искомая первообразная $F(x)$ с условием $F(0) = 2$ равна:

$F(x) = e^x + \frac{x^3}{3} + 1$