Question

Y=-3x^(3)+6x^(2)-5x Найти промежутки убывания и возрастания функции

Answer 1

Функция убывает тогда, когда ее производная отрицательна. Найдем промежуток возрастания:  $y'(x)=-9x^{2}+12x-5\ \textgreater \ 0 \Leftrightarrow x \in \varnothing$
То есть эта функция всегда убывает.

Answer 2

Для нахождения промежутков убывания и возрастания функции, нужно проанализировать производную функции и выяснить, где она положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает). Промежутки возрастания соответствуют местам, где производная положительна, а промежутки убывания - местам, где производная отрицательна.

Дано уравнение функции: Y = -3x^3 + 6x^2 - 5x

Шаг 1: Найдем производную функции (Y'):

Y' = d/dx(-3x^3) + d/dx(6x^2) - d/dx(5x)

Вычислим производные частей:

d/dx(-3x^3) = -3 * 3x^2 = -9x^2 d/dx(6x^2) = 6 * 2x = 12x d/dx(-5x) = -5

Теперь объединим производные:

Y' = -9x^2 + 12x - 5

Шаг 2: Найдем критические точки функции (места, где производная равна нулю или не существует):

Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-9x^2 + 12x - 5 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или факторизации. Решим его, используя факторизацию:

(-3x + 5)(3x - 1) = 0

Таким образом, критические точки равны x = 5/3 и x = 1/3.

Шаг 3: Построим таблицу знаков производной, чтобы определить промежутки возрастания и убывания:

x	-∞	1/3	5/3	+∞
Y'(x)	?	0	0	?

В интервале (-∞, 1/3) производная Y'(x) меньше нуля (знак "-"), следовательно, функция убывает на этом интервале.

В интервале (1/3, 5/3) производная Y'(x) больше нуля (знак "+"), значит, функция возрастает на этом интервале.

В интервале (5/3, +∞) производная Y'(x) также больше нуля (знак "+"), поэтому функция продолжает возрастать на этом интервале.

Итак, промежутки убывания функции: (-∞, 1/3)

Промежутки возрастания функции: (1/3, +∞)