Question

Радиусы оснований усеченного конуса и его высота относятся как 3:6:4. Найти объем конуса, если его образующая равна 25 см.

Answer 1

Основание, радиус 3x
основание, радиус 6x
высота 4x
проекция образующей на основание равна разнице радиусов оснований, 6x-3x=3x
по теореме Пифагора, образующая гипотенуза, высота и проекция - катеты
25^2=(3x)^2+(4x)^2
625=9x^2+16x^2
625=25x^2
x^2=25
x=5 см
объём усечённого конуса
V=⅓πH(R₁²+R₁R₂+R₂²)
V=1/3*π*4x*(9+3*6+36)x²
V=π/3*x³*4*63
V=π*x³*84
V=π*5³*84=125*84π = 10500π см³

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим радиусы оснований усеченного конуса. Пусть радиус большего основания будет $r_1$, а радиус меньшего основания - $r_2$. Высоту усеченного конуса обозначим как $h$.

Условие задачи гласит, что отношение радиусов оснований и высоты равно 3:6:4:

$\frac{r_1}{h} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{r_2}{h} = \frac{6}{6} = 1$

Также известно, что образующая конуса $l = 25$ см.

Образующая конуса $l$, радиусы оснований $r_1$ и $r_2$ связаны между собой формулой:

$l^2 = (r_1 - r_2)^2 + h^2$

Подставим известные значения:

$25^2 = (r_1 - r_2)^2 + h^2$

$625 = (r_1 - r_2)^2 + h^2$

Теперь воспользуемся информацией о соотношении радиусов и высоты:

$\frac{1}{2}h = r_1$

$h = 2r_1$

$h^2 = 4r_1^2$

$\frac{1}{4}h^2 = r_1^2$

Таким образом, заменим $r_1^2$ в формуле для образующей:

$625 = (r_1 - r_2)^2 + \frac{1}{4}h^2$

$625 = (r_1 - r_2)^2 + r_1^2$

Теперь мы знаем, что отношение $r_1:r_2$ равно 1:2:

$r_2 = 2r_1$

Теперь подставим $r_2$ в формулу:

$625 = (r_1 - 2r_1)^2 + r_1^2$

$625 = (-r_1)^2 + r_1^2$

$625 = 2r_1^2$

Теперь найдем значение $r_1$:

$r_1^2 = \frac{625}{2}$

$r_1 = \sqrt{\frac{625}{2}}$

$r_1 = \frac{25}{\sqrt{2}}$