Question

Когда система уравнений имеет бесконечное число решений

Answer 1

Система из 2-х линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений, когда числовые коэффициенты пропорциональны:
а1х+в1у=с1
а2х+в2у=с2

При а1/а2=в1/в2=с1/с2 .
Например:
2х-3у=4
-4х+6у=-8. 2/(-4)=-3/6=4/(-8)=-1/2. Это совпадающие прямые.

Answer 2

Если ее уравнения линейно зависимы, т.е. какое-либо уравнение можно получить проделывая операции над другими
{x + y + z= 5
{2x + 3y + z= 7
{x + 2y = 2

если сложить 1 и 3 уравнения, то получим второе, значит они линейно зависимы и система имеет бесконечно много решений

однако система не должна иметь таких уравнений, которые противоречат друг другу, в этом случае она не будет иметь решений. (например: х + у = 4, 2х + 2у = 7, очевидно, что оба уравнения не могут выполняться одновременно)

Answer 3

Система уравнений имеет бесконечное число решений, когда у нее есть бесконечно много наборов значений переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям в системе.

Это происходит, когда у системы есть неограниченное количество решений из-за особенностей уравнений или параметров. Самым распространенным случаем является система с зависимыми уравнениями, когда одно или несколько уравнений могут быть выражены через другие уравнения. В таких случаях у системы будет бесконечное количество решений, потому что каждый раз, когда выразить одну из переменных через другие, можно выбрать произвольные значения для свободных переменных и получить новый набор решений.

Пример простой системы уравнений с бесконечным числом решений:

1. x + y = 5
2. 2x + 2y = 10

В этом примере, если мы возьмем первое уравнение и разделим его на 2, мы получим y = 5 - x. Это означает, что y выражается через x. При этом x может принимать любые значения, и для каждого значения x мы можем вычислить соответствующее значение y. Например, когда x = 0, y = 5; когда x = 1, y = 4; и так далее. Каждая такая пара (x, y) представляет собой решение системы. Таким образом, бесконечное количество пар (x, y) удовлетворяют обеим уравнениям системы.

Важно отметить, что для системы уравнений с бесконечным числом решений может быть бесконечно много способов представления этих решений.