Question

Высота конуса равна 30 см, образует с образующей угол 30 градусов. Найти площадь полной поверхности конуса

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для того чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно сложить площади его боковой поверхности и основания.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{\text{бок}} = \pi r l,$ где $r$ - радиус основания конуса, $l$ - длина образующей.

Чтобы найти $r$ и $l$, нам нужно использовать данные из условия задачи. Известно, что высота конуса равна 30 см, и угол между высотой и образующей составляет 30 градусов.

Радиус основания $r$ можно найти, используя тригонометрию. Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{r}{30}$. Тогда, чтобы найти $r$, нужно умножить 30 на $\tan(30^\circ)$: $r = 30 \times \tan(30^\circ).$

Длину образующей $l$ мы можем найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованного высотой, радиусом и образующей: $l = \sqrt{r^2 + h^2},$ где $h$ - высота конуса.

Теперь, когда у нас есть $r$ и $l$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}$.

Наконец, площадь основания $S_{\text{осн}}$ можно найти, используя формулу для площади круга: $S_{\text{осн}} = \pi r^2.$

И, наконец, площадь полной поверхности конуса $S_{\text{полн}}$ равна сумме площадей боковой поверхности и основания: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}.$

Теперь давайте вычислим все значения:

1. Рассчитаем $r$: $r = 30 \times \tan(30^\circ) \approx 30 \times 0.577 \approx 17.31 \text{ см}.$

2. Рассчитаем $l$: $l = \sqrt{17.31^2 + 30^2} \approx \sqrt{299.7961 + 900} \approx \sqrt{1199.7961} \approx 34.64 \text{ см}.$

3. Рассчитаем $S_{\text{бок}}$: $S_{\text{бок}} = \pi \times 17.31 \times 34.64 \approx 1885.86 \text{ см}^2.$

4. Рассчитаем $S_{\text{осн}}$: $S_{\text{осн}} = \pi \times 17.31^2 \approx \pi \times 299.7961 \approx 942.48 \text{ см}^2.$

5. Рассчитаем $S_{\text{полн}}$: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \approx 1885.86 + 942.48 \approx 2828.34 \text{ см}^2.$

Ответ: Площадь полной поверхности конуса составляет примерно 2828.34 квадратных сантиметра.