Question

Найти первообразную функции f(x)=5x^4-2x+1

Answer 1

F(x) = 5x⁴ - 2x +1
F(x) = 5 · x⁵/5 - 2 · x²/2 + x + C = x⁵ - x² + x + C

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 5x^4 - 2x + 1$, нужно найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$.

Для этого мы будем интегрировать каждый член функции $f(x)$ по отдельности.

Итак, найдем первообразную $F(x)$ для каждого члена:

1. $\int 5x^4 \, dx$:

Для этого члена мы используем правило степени интеграла: $\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C$, где $C$ - произвольная константа интегрирования.

Применяя это правило, получаем: $\int 5x^4 \, dx = \frac{{5x^5}}{{5}} + C_1 = x^5 + C_1$.

2. $\int -2x \, dx$:

Здесь мы интегрируем линейную функцию, для которой правило также простое: $\int ax \, dx = \frac{{ax^2}}{2} + C$.

Применяя это правило к нашему члену, получаем: $\int -2x \, dx = -\frac{{2x^2}}{2} + C_2 = -x^2 + C_2$.

3. $\int 1 \, dx$:

Для константы $1$ интеграл будет просто равен $x$ с некоторой константой: $\int 1 \, dx = x + C_3$.

Теперь, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, сложим найденные интегралы:

$F(x) = \int (5x^4 - 2x + 1) \, dx = \int 5x^4 \, dx - \int 2x \, dx + \int 1 \, dx = x^5 + C_1 - x^2 + C_2 + x + C_3$.

Итак, первообразная функции $f(x)$ будет:

$F(x) = x^5 - x^2 + x + C,$

где $C$ - произвольная константа интегрирования.