Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 ; y=0 ; x=0 ; x=1

Answer 1

S=интеграл(0. до. 1) (x²)dx=x³/3(0 до. 1)
=1/3

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, мы можем воспользоваться интегралами.

Фигура ограничена линиями y = x^2, y = 0, x = 0 и x = 1. График функции y = x^2 представляет собой параболу, которая проходит через начало координат (0,0) и вершину параболы в точке (1,1). Таким образом, фигура имеет форму треугольника, ограниченного осью x, осью y и параболой.

Площадь фигуры можно найти как разность площадей двух фигур: площади под параболой и площади прямоугольного треугольника.

1. Площадь под параболой: Для нахождения площади под параболой в пределах от x = 0 до x = 1, нужно взять определенный интеграл от функции y = x^2 по x в указанных пределах:

∫[0 to 1] x^2 dx

2. Площадь прямоугольного треугольника: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длины основания на высоту. В данном случае, длина основания равна 1 (от x = 0 до x = 1), а высота равна 0 (по оси y).

Теперь вычислим каждую из площадей:

1. Площадь под параболой: ∫[0 to 1] x^2 dx = [x^3/3] from 0 to 1 = (1^3/3) - (0^3/3) = 1/3

2. Площадь прямоугольного треугольника: Площадь прямоугольного треугольника равна (1 * 0) / 2 = 0

Теперь найдем общую площадь фигуры, вычтя площадь прямоугольного треугольника из площади под параболой:

Площадь = 1/3 - 0 = 1/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2, y = 0, x = 0 и x = 1, составляет 1/3 квадратных единицы.