Question

Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции y=1/3x^3+2x^2-2

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности и точки экстремума функции y = (1/3)x^3 + 2x^2 - 2, нам понадобятся производные функции. Сначала найдем первую и вторую производные:

1. Найдем первую производную (производная функции):

y' = d/dx ((1/3)x^3 + 2x^2 - 2) y' = x^2 + 4x

2. Найдем вторую производную (производная первой производной):

y'' = d/dx (x^2 + 4x) y'' = 2x + 4

Теперь используем производные для анализа функции:

1. Промежутки монотонности:

Чтобы найти промежутки монотонности, нужно определить знак производной (y') на различных интервалах.

y' = x^2 + 4x

Для того чтобы найти, когда производная равна нулю (критические точки), решим уравнение:

x^2 + 4x = 0 x(x + 4) = 0

Таким образом, критические точки находятся в точках x = 0 и x = -4.

Теперь построим таблицу знаков производной:

| x < -4 | -4 < x < 0 | x > 0 | |--------------------------------------------| | y' < 0 | y' > 0 | y' > 0 |

Из таблицы видно, что на промежутке (-∞, -4) функция убывает, на промежутке (-4, 0) функция возрастает, и на промежутке (0, +∞) функция также возрастает.

2. Точки экстремума:

Точки экстремума соответствуют критическим точкам, где производная обращается в ноль.

Наши критические точки: x = 0 и x = -4.

Для определения характера точек экстремума (минимум или максимум), используем вторую производную:

y'' = 2x + 4

Подставим x = 0 и x = -4 в y'':

y''(0) = 2(0) + 4 = 4 y''(-4) = 2(-4) + 4 = -4

Из знаков второй производной следует:

• y''(0) > 0, значит, в точке x = 0 функция имеет минимум.
• y''(-4) < 0, значит, в точке x = -4 функция имеет максимум.

Таким образом, у функции есть одна точка минимума в (0, -2) и одна точка максимума в (-4, 10).