Question

Y=4ln(x^2+9) найти функцию экстремиюма

Answer 1

Для нахождения экстремумов функции Y = 4ln(x^2 + 9) нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю. Эти точки будут кандидатами на экстремумы.

Шаг 1: Найдем производную функции Y по переменной x: Y = 4ln(x^2 + 9)

Используем правило дифференцирования сложной функции (chain rule):

d/dx [ln(u)] = (1/u) * du/dx

где u = x^2 + 9.

Тогда:

dY/dx = 4 * (1 / (x^2 + 9)) * d/dx (x^2 + 9)

d/dx (x^2 + 9) = 2x

Подставим обратно:

dY/dx = 4 * (1 / (x^2 + 9)) * 2x

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4 * (1 / (x^2 + 9)) * 2x = 0

Так как множитель 4 не равен нулю, то условие для экстремума равно:

1 / (x^2 + 9) * 2x = 0

Шаг 3: Найдем точки, удовлетворяющие условию:

2x = 0

x = 0

Таким образом, получили одну кандидатскую точку для экстремума, а именно x = 0.

Шаг 4: Определение типа экстремума.

Чтобы определить тип экстремума (максимум или минимум) в найденной точке, нам нужно проанализировать знак второй производной функции в этой точке.

Вторая производная функции Y:

d^2Y/dx^2 = d/dx (4 * (1 / (x^2 + 9)) * 2x)

d^2Y/dx^2 = 4 * d/dx (1 / (x^2 + 9)) * 2x

Применяем правило дифференцирования дроби:

d/dx (1 / u) = (-1 / u^2) * du/dx

где u = x^2 + 9.

Тогда:

d^2Y/dx^2 = 4 * (-1 / (x^2 + 9)^2) * d/dx (x^2 + 9) * 2x

d/dx (x^2 + 9) = 2x

Подставим обратно:

d^2Y/dx^2 = 4 * (-1 / (x^2 + 9)^2) * 2x * 2x

d^2Y/dx^2 = -16x^2 / (x^2 + 9)^2

Теперь, подставим найденное значение x = 0 во вторую производную:

d^2Y/dx^2 |_(x=0) = -16 * 0^2 / (0^2 + 9)^2

d^2Y/dx^2 |_(x=0) = 0

Так как вторая производная в точке x = 0 равна нулю, этот метод не дает явного ответа о типе экстремума в данной точке. В этом случае нам нужно провести дополнительный анализ, используя окрестности точки x = 0 и/или график функции.

В данном случае, поскольку функция Y = 4ln(x^2 + 9) является логарифмической и её аргумент всегда больше нуля, существует её нижний предел при x стремящемся к нулю (x -> 0). Это означает, что функция стремится к минус бесконечности при x, стремящемся к нулю справа. Таким образом, у функции есть локальный минимум в точке x = 0.

Ответ: Точка x = 0 является точкой локального минимума для функции Y = 4ln(x^2 + 9).