Question

Помогите пожалуйста, срочнр!! (x^2 - 3y^2)dx + 2xydy = 0, y(2) = 1

Answer 1

Общее решение я нашел (см. прикрепленный листочек). Частное решение, удовлетворяющее начальному условию, найдите сами. ===>>

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

(x^2 - 3y^2)dx + 2xydy = 0

и начальное условие:

y(2) = 1

Для решения этого дифференциального уравнения, давайте воспользуемся методом разделения переменных. Для этого перепишем уравнение в следующем виде:

(x^2 - 3y^2)dx = -2xydy

Теперь разделим обе части уравнения на соответствующие переменные:

(x^2 - 3y^2)/y = -2x dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(x^2 - 3y^2)/y dy = ∫-2x dx

Для левой части уравнения выполним интегрирование по y, а для правой части по x:

∫(x^2/y - 3y) dy = ∫-2x dx

Теперь найдем интегралы:

∫(x^2/y - 3y) dy = x^2y/y - (3y^2)/2 + C1 ∫-2x dx = -x^2 + C2

Где C1 и C2 - это произвольные константы интегрирования.

Теперь равенство станет следующим:

x^2y - (3y^2)/2 + C1 = -x^2 + C2

Теперь применим начальное условие y(2) = 1 для определения констант C1 и C2:

2^2 * 1 - (3 * 1^2)/2 + C1 = -(2)^2 + C2

4 - 3/2 + C1 = -4 + C2

C1 = -4 + C2 + 3/2

Теперь, если нет других начальных условий, нам не хватает информации, чтобы определить конкретные значения C1 и C2. Однако мы можем представить ответ, включив обе константы:

Ответ: x^2y - (3y^2)/2 + (-4 + C2 + 3/2) = -x^2 + C2

Это является общим решением дифференциального уравнения с заданным начальным условием y(2) = 1. Если у вас есть дополнительные начальные условия, вы можете использовать их для определения конкретных значений констант и получения частного решения.