Question

(x+y^2)dx-2xydy=0 помогите решить, пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

d = 0,

x = 0,

x = y²

Пошаговое объяснение:

(x + y²) × dx - 2xydy = 0

dx² + dxy² - 2dxy² = 0

dx² - dxy² = 0

dx(x - y²) = 0, значит: (варианты, при которых равенство верно)

1) d = 0

2) х = 0

3) х - у² = 0

х = у²

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Чтобы решить его, следует выполнить следующие шаги:

1. Разделим обе стороны уравнения на $y$ (если $y \neq 0$):

$$\frac{{(x + y^2)}}{y} dx - 2x dy = 0.$$

2. Выразим дифференциал $dx$ в первом члене:

$$\frac{{x}}{y} dx + y dx - 2x dy = 0.$$

3. Перенесем все члены с $dx$ на одну сторону, а члены с $dy$ на другую:

$$\frac{{x}}{y} dx + y dx = 2x dy.$$

4. Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

$$\int \left( \frac{{x}}{y} dx + y dx \right) = \int 2x dy.$$

5. Выполним интегрирование:

$$\int \frac{{x}}{y} dx + \int y dx = 2 \int x dy.$$

$$\frac{{x^2}}{2y} + \frac{{y^2}}{2} = x^2 + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

6. Теперь выразим $y$ как функцию от $x$ и введем постоянную интегрирования:

$$\frac{{x^2}}{2y} + \frac{{y^2}}{2} = x^2 + C.$$

$$\frac{{x^2}}{2y} = x^2 - \frac{{y^2}}{2} + C.$$

$$\frac{1}{2y} = 1 - \frac{{y^2}}{{2x^2}} + \frac{{C}}{{x^2}}.$$

7. Избавимся от дроби:

$$2y = \frac{{2x^2}}{{1 - \frac{{y^2}}{{x^2}}} + \frac{{2C}}{{x^2}}}.$$

$$2y = \frac{{2x^2}}{{\frac{{x^2 - y^2}}{{x^2}}} + \frac{{2C}}{{x^2}}}.$$

$$2y = \frac{{2x^3}}{{x^2 - y^2}} + \frac{{2C}}{{x^2}}.$$

8. Упростим выражение:

$$y = \frac{{x^3}}{{x^2 - y^2}} + \frac{{C}}{{x^2}}.$$

Это является общим решением данного дифференциального уравнения.