Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=(1/3)^-x x=1 x=-1 y=0

Answer 1

S=∫3^xdx=3^x/ln3=3^1/ln3-1/(3ln3)=3/ln3-1/(3ln3)=8/(3ln3)

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, нам нужно определить, как эти линии образуют область на плоскости.

Первая линия: y = (1/3)^(-x) или y = 3^x. Она представляет собой экспоненциальную функцию с основанием 3, которая проходит через точку (0, 1) и стремится к бесконечности по оси y при x -> -∞.

Вторая линия: x = 1. Это вертикальная линия, которая проходит через точку (1, 0).

Третья линия: x = -1. Также вертикальная линия, которая проходит через точку (-1, 0).

Четвертая линия: y = 0. Это горизонтальная линия, которая проходит через точку (0, 0).

Теперь давайте нарисуем эти линии на графике:

perlCopy code
   |
 2 |               *
   |              /
   |            /  
 1 |          /     
   |         /      
   |        /       
 0 |-------*--------*----
   |      /          \   
-1 |     /            \  
   |    /              \ 
   |   /                \
-2 | /
   |/
   |---------------------
     -2   -1    0    1   2

На графике выше область, которую мы хотим найти, находится между кривой y = 3^x и осями x и y, ограниченная вертикальными линиями x = -1 и x = 1, а также горизонтальной линией y = 0.

Теперь давайте найдем площадь этой области.

Площадь можно разделить на две части: прямоугольник и площадь под кривой y = 3^x.

1. Площадь прямоугольника: Ширина прямоугольника = |(-1) - 1| = 2 (модуль разности координат x). Высота прямоугольника = |0 - 3^(-1)| = 1/3. Площадь прямоугольника = Ширина * Высота = 2 * (1/3) = 2/3.

2. Площадь под кривой y = 3^x: Заметим, что площадь под кривой y = 3^x находится выше оси x, поэтому её площадь равна интегралу от -1 до 1 от функции y = 3^x.

   ∫[from -1 to 1] 3^x dx = [3^(x+1)/(ln(3))] | [from -1 to 1] = (3^2/(ln(3))) - (3^0/(ln(3))) = (9 - 1) / (ln(3)) = 8 / (ln(3))

Теперь найдем общую площадь:

Общая площадь = Площадь прямоугольника + Площадь под кривой Общая площадь = 2/3 + 8 / (ln(3)) ≈ 2.791 (округлено до трех знаков после запятой).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, составляет приблизительно 2.791 квадратных единицы.