Question

Из Астаны выехал велосипедист со скоростью 15 км/час. Спустя 3 часа вслед ему отправился мотоциклист, который в первый час проехал 20 км, а каждый следующий час проезжал на 1 км больше, чем в предыдущий. Сколько часов потребовалось мотоциклисту, чтобы догнать велосипедиста? А) 5; В) 12; С) 6,5; D) 6; Е) 5,5

Answer 1

ск. вел --------15 км/час
ехал один ---- 3 часа
нач.ск. мот. --- 20 км/час
ежечасное увеличение --- 1 км/час
время догоняния ----- ? час
Решение.
Х час ------------ время догоняния (время мотоциклиста)
(Х+3) час-------- ехал всего велосипедист
15(Х+3) км ----- проехал велосипедист
20Х км ---------- проехал бы мотоциклист, если бы ехал с постоянной скоростью 20 км/час.
(Х-1) час ----- число часов, когда скорость мотоциклиста была увеличенной.
1 * (1; 2; ..., (Х-1))  км ---- прогрессия, которую составляет увеличение проходимого в час мотоциклистом расстояния за счет увеличения скорости в каждый последующий час, 
(1 + (Х-1))*(Х-1)/2 = Х(Х-1)/2 км---- суммарное расстояние, добавившееся за счет ежечасного увеличения скорости против начальной 20 км/час (сумма арифметической прогрессии)
15(Х+3) = 20Х + (Х²-Х)/2 ------ т.к. мотоциклист по условию догнал велосипедиста, то пройденные расстояния будут одинаковые.
15Х + 45 = 20Х + (Х²-Х)/2
Х² - Х + 40Х - 30Х - 90 = 0
Х² + 9Х - 90 = 0
D = 9² + 4*90 = 81 + 360 = 441;  D > 0, находим корни
Х₁ = (-9 + √D)/2 = (-9 + 21)/2 = 12/2 = 6 (час)
Х₂ = (-9 -D)/2 = (-9 - 21)/2 = -15 (час) --- посторонний, не имеет смысла в данной задаче.
Ответ: 6 час.
 

Answer 2

Давайте рассмотрим движение мотоциклиста и велосипедиста. Пусть х - это количество часов, которое прошло с момента выезда мотоциклиста.

Для велосипедиста: расстояние = скорость × время Расстояние, пройденное велосипедистом = 15 км/ч × (3 ч + х).

Для мотоциклиста: расстояние = скорость × время Расстояние, пройденное мотоциклистом за первый час = 20 км. Затем скорость мотоциклиста увеличивается на 1 км каждый час, так что за х часов его скорость будет (20 км/ч + х км/ч).

Расстояние, пройденное мотоциклистом за х часов = (20 км + х км/ч) × х ч.

Чтобы мотоциклист догнал велосипедиста, расстояние, пройденное ими, должно быть одинаковым:

15 км/ч × (3 ч + х) = (20 км + х км/ч) × х ч.

Теперь решим уравнение:

15(3 + х) = (20 + х)х.

Раскроем скобки:

45 + 15х = 20х + х^2.

Приведем все к одной стороне и получим квадратное уравнение:

x^2 - 5х - 45 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение:

x = (5 ± √(5^2 + 4 * 1 * 45)) / 2, x = (5 ± √(25 + 180)) / 2, x = (5 ± √205) / 2.

Мы получаем два решения: x ≈ 10.16 и x ≈ -5.16.

Так как время не может быть отрицательным, то рассматриваем только положительное значение: x ≈ 10.16.

Таким образом, мотоциклисту потребовалось примерно 10.16 часов, чтобы догнать велосипедиста.

Наиболее близкий вариант к этому ответу из предложенных - В) 12 часов.