Question

ДАЮ 45 БАЛЛОВ Помогите пожалуйста найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [ 0; 2pi] . y = 2sinx+cos2x.

Answer 1

y = 2sin x + cos 2x

Производная

y' = 2cosx - 2 sin 2x

Критические точки при y' = 0:

Решаем уравнение

2cos x - 2sin 2x = 0

cos x - 2sin x · cos x = 0

cos x · (1 - 2sin x) = 0

1) cos x = 0 в заданном интервале это уравнение имеет 2 решения:

х1 = π/2 и х2 = 3π/2

2) 1 - 2sin x = 0

sin x = 1/2 в заданном интервале это уравнение имеет два решения:

х3 = π/6 и х4 = 5π/6

Разбиваем весь интервал от 0 до 2π критическими точками и проверяем знаки производной в каждом из интервалов. Получаем такую картину:

      +           -            +                  -                   +

._____ . ______ . ______ . _________ . __________ .

0        π/6          π/2          5π/6           3π/2                2π

В точках х = π/6 и х = 5π/6  максимум уmax = 2·0.5 + 0.5 = 1.5

В точке х = π/2 локальный минимум уmin = 2·1 + (-1) = 1

В точке х = 3π/2 также локальный минимум уmin = 2·(-1) + (-1) = -3

На концах интервала

х = 0 у = 0 + 1 = 1

х = 2π у = 0 + 1 = 1

Ответ: у наиб = 1,5; у наим - -3

Answer 2

Y=2sinx+cos2x ; [0;2π]
y'=2cosx-2sin2x
y'=0
2cosx-2sin2x=0
cosx-2sinx•cosx=0
cosx(1-2sinx)=0
cosx=0;x=π/2;x=3π/2
sinx=1/2;x=π/6;x=5π/6
y(0)=2sin0+cos0=1
y(2π)=2sin2π+cos4π=1
y(π/2)=2•sinπ/2+cos(2*π/2)=2-1=1
y(3π/2)=2•sin3π/2+cos3π
=-2-1=-3
y(π/6)=2•sinπ/6+cosπ/3=
2•1/2+1/2=3/2
y(5π/6)=2•sin5π/6+cos5π/3=2•1/2+cos(2π-π/3)
=1+1/2=3/2
ymax=3/2
ymin=-3

Answer 3

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = 2sin(x) + cos(2x) на промежутке [0; 2π], следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции y по переменной x.
2. Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Определите значения функции в критических точках, а также на границах промежутка [0; 2π].
4. Сравните полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение.

Шаг 1: Найдем производную функции y = 2sin(x) + cos(2x):

dy/dx = 2cos(x) - 2sin(2x).

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

2cos(x) - 2sin(2x) = 0.

Шаг 3: Решим уравнение:

2cos(x) - 2sin(2x) = 0.

2cos(x) = 2sin(2x).

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Таким образом, уравнение примет вид:

2cos(x) = 2sin(x) * 2sin(x) * cos(x).

Упростим его:

2cos(x) = 4sin^2(x) * cos(x).

Теперь возможны два варианта:

a) cos(x) = 0.

b) 2 = 4sin^2(x).

а) Решим уравнение cos(x) = 0 на промежутке [0; 2π]:

cos(x) = 0.

x = π/2, 3π/2.

б) Решим уравнение 2 = 4sin^2(x) на промежутке [0; 2π]:

2 = 4sin^2(x).

sin^2(x) = 1/2.

sin(x) = ±√(1/2).

x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Шаг 4: Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах промежутка [0; 2π]:

Для x = 0:

y(0) = 2sin(0) + cos(2*0) = 0 + 1 = 1.

Для x = π/2:

y(π/2) = 2sin(π/2) + cos(2*π/2) = 2 + (-1) = 1.

Для x = π/4:

y(π/4) = 2sin(π/4) + cos(2*π/4) = √(2)/2 + 0 = √(2)/2 ≈ 0.707.

Для x = 3π/4:

y(3π/4) = 2sin(3π/4) + cos(2*3π/4) = √(2)/2 + 0 = √(2)/2 ≈ 0.707.

Для x = 2π:

y(2π) = 2sin(2π) + cos(2*2π) = 0 + 1 = 1.

Для x = 3π/2:

y(3π/2) = 2sin(3π/2) + cos(2*3π/2) = -2 + 1 = -1.

Для x = 5π/4:

y(5π/4) = 2sin(5π/4) + cos(2*5π/4) = -√(2)/2 + 0 = -√(2)/2 ≈ -0.707.

Для x = 7π/4:

y(7π/4) = 2sin(7π/4) + cos(2*7π/4) = -√(2)/2 + 0 = -√(2)/2 ≈ -0.707.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции:

Наибольшее значение: 1 (достигается при x = 0 и x = 2π).

Наименьшее значение: -1 (достигается при x = 3π/2).

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [0; 2π] равно 1, а наименьшее значение равно -1.