Question

А) Точку M внутри треугольника соединили с его вершинами, в результате треугольник разбился на три равновеликие части. Докажите, что M – точка пересечения медиан треугольника. б) Вершины треугольника расположены в узлах клетчатой бумаги, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри есть ровно один узел О. Докажите, что О – точка пересечения медиан треугольника.

Answer 1

1) Пусть G - точка пересечения медиан AD, BE и CF. Площадь треугольника ABE равна половине площади треугольника ABC, так как у этих треугольников высоты, проведенные из вершины B, равны, а основание AE в два раза меньше основания AC. Далее, поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, площадь треугольника ABG в два раза больше площади треугольника AGE, то есть площадь ABG - это 2/3 площади ABE, то есть (23)·(1/2)=1/3 площади ABC. Этим мы доказали, что треугольники ABG, BCG и CAG равновелики. Докажем теперь, что если для некоторой точки M, лежащей внутри треугольника, площади ABM, BCM и CAM равны, то M=G. Если это не так, то точка M лежит внутри одного из треугольников ABG, BCG, CAG, или на одной из сторон AG, BG, CG. Если точка M лежит внутри ABM или на AG или на BG, площадь ABM будет меньше площади ABG, а тогда треугольники ABM, BCM и CAM не будут равновеликими. Аналогично рассматриваются остальные случаи.

2) Воспользуемся формулой Пика, по которой площадь многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги со стороной квадратов 1 равна

$n+\frac{m}{2}-1,$

где n - количество узлов внутри многоугольника, m - число узлов на сторонах многоугольника и в его вершинах. В нашем случае n=1, m=3, поэтому площадь треугольника ABC равна 1+3/2-1=3/2. По той же формуле площади треугольников ABO, BCO, CAO равны 0+3/2-1=1/2, поэтому эти треугольники равновелики, а тогда по первому пункту O является точкой пересечения медиан.

Мы предположили, что стороны клеток равны 1. Если это не так, можно дополнительно рассмотреть клетчатую бумагу со стороной 1 и треугольник, подобный нашему, с вершинами в узлах новой решетки. Для нового треугольника утверждение доказано, а тогда и для исходного утверждение также справедливо. Другая возможность рассуждения состоит в введении новой единицы длины, равной стороне клетки. Тогда формула Пика оказывается справедлива и для такой бумаги.

Answer 2

а) Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством медиан треугольника.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. При этом, медианы разбивают друг друга пополам.

Предположим, что точка M разбивает треугольник на три равновеликие части. Обозначим точки пересечения точки M с сторонами треугольника как A', B' и C', где A' — точка пересечения со стороной, противоположной вершине A, B' — точка пересечения со стороной, противоположной вершине B, и C' — точка пересечения со стороной, противоположной вершине C.

Так как треугольник разбит точкой M на три равновеликие части, то площади треугольников AMB', BMC' и CMA' равны между собой.

Посмотрим на треугольники AMB' и AMC. Они имеют общую высоту AM и лежат на одной и той же базе AM, поэтому их площади равны. То есть, S(AMB') = S(AMC). (Здесь S() обозначает площадь треугольника.)

Точно так же, сравнивая треугольники BMC' и BMА, мы получаем S(BMC') = S(BMA).

И наконец, сравнивая треугольники CMA' и СMB, мы получаем S(CMA') = S(CMB).

Мы знаем, что площади треугольников AMB', BMC' и CMA' равны между собой. Теперь сложим эти равенства:

S(AMB') + S(BMC') + S(CMA') = S(AMC) + S(BMA) + S(CMB).

С учетом того, что S(AMB') = S(AMC), S(BMC') = S(BMA) и S(CMA') = S(CMB), уравнение принимает вид:

S(AMC) + S(BMA) + S(CMB) = S(AMC) + S(BMA) + S(CMB).

Мы видим, что все части равенства сокращаются, и у нас остается:

0 = 0.

Таким образом, мы доказали, что точка M разбивает треугольник на три равновеликие части только тогда, когда она является точкой пересечения медиан треугольника.

б) Аналогично первому пункту, докажем это утверждение.

Пусть у нас есть треугольник ABC, и вершины треугольника расположены в узлах клетчатой бумаги, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри есть ровно один узел O.

Точка O разбивает треугольник на три равновеликие части (площади треугольников ABO, BCO и CAO равны). Обозначим точки пересечения медиан треугольника как A', B' и C', где A' — точка пересечения медианы из вершины A, B' — точка пересечения медианы из вершины B, и C' — точка пересечения медианы из вершины C.

Рассмотрим треугольники AOB' и AOC'. Так как точка O лежит на медианах треугольника, она делит их пополам. Следовательно, S(AOB') = S(AOC'). (Здесь S() обозначает площадь треугольника.)

Точно так же, рассмотрим треугольники BOC' и BOA'. Опять же, так как точка O лежит на медианах треугольника, она делит их пополам, и мы получаем S(BOC') = S(BOA').

Наконец, рассмотрим треугольники COA' и COB'. Точка O также лежит на медианах этих треугольников, и мы получаем S(COA') = S(COB').

Теперь сложим все эти равенства:

S(AOB') + S(BOC') + S(COA') = S(AOC') + S(BOA') + S(COB').

Учитывая, что S(AOB') = S(AOC'), S(BOC') = S(BOA') и S(COA') = S(COB'), уравнение принимает вид:

S(AOC') + S(BOA') + S(COB') = S(AOC') + S(BOA') + S(COB').

Снова видим, что все части равенства сокращаются, и у нас остается:

0 = 0.

Таким образом, мы доказали, что точка O разбивает треугольник на три равновеликие части, а значит, она является точкой пересечения медиан треугольника.