Question

Общий интеграл дифференциального уравнения y'e^x=y

Answer 1

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:  $\displaystyle \frac{dy}{y} =e^{-x}dx$ - уравнение с разделёнными переменными. Проинтегрируем левую и правую части уравнения:  $\displaystyle \int \frac{dy}{y} =\int e^{-x}dx$ получим ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ:
           $\ln|y|=-e^{-x}+C$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения $y' e^x = y$, можно воспользоваться методом разделения переменных и затем проинтегрировать обе стороны уравнения.

Начнем с разделения переменных, переместив все y-связанное в одну сторону уравнения, а x-связанное - в другую:

$\frac{dy}{dx} = y \cdot e^{-x}$

Теперь давайте разделим обе части уравнения, чтобы отделить переменные y и x:

$\frac{dy}{y} = e^{-x} \, dx$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{dy}{y} = \int e^{-x} \, dx$

Левая сторона интеграла:

$\int \frac{dy}{y} = \ln|y| + C_1$

Правая сторона интеграла:

$\int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C_2$

где $C_1$ и $C_2$ - константы интегрирования.

Таким образом, общее решение уравнения будет:

$\ln|y| + C_1 = -e^{-x} + C_2$

Перепишем в более компактной форме, объединив константы интегрирования:

$\ln|y| = -e^{-x} + C$

где $C = C_2 - C_1$ - новая константа интегрирования.

Далее, возведем обе стороны в экспоненту, чтобы избавиться от логарифма:

$|y| = e^{-e^{-x} + C}$

Теперь рассмотрим два случая для абсолютного значения $|y|$:

1. $y > 0$: В этом случае, $|y| = y$, и уравнение становится:

$y = e^{-e^{-x} + C}$

2. $y < 0$: В этом случае, $|y| = -y$, и уравнение примет вид:

$-y = e^{-e^{-x} + C}$

Обратите внимание, что в обоих случаях константу $C$ можно просто объединить с другой константой.

Вот итоговые решения для общего интеграла данного дифференциального уравнения:

1. Если $y > 0$: $y = e^{-e^{-x} + C}$

2. Если $y < 0$: $y = -e^{-e^{-x} + C}$

Где $C$ - произвольная константа.