Question

Решите уравнение: cos2x−√2cos(3π/2+x)−1=0

Answer 1

$\cos(2x) - \sqrt{2} \cos( \frac{3\pi}{2} + x) - 1 = 0 \\ \cos(2x) - \sqrt{2} \sin(x) - 1 = 0 \\ 1 - 2 \sin ^{2} (x) - \sqrt{2 } \sin(x) - 1 = 0 \\ - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{2} \sin(x) = 0 \\ - \sin(x) (2 \sin(x) + \sqrt{2} ) = 0 \\ \sin(x) = 0 \: \: \: and \: \: \sin(x) = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x = \pi \: k \: \: \: and \: \: \: \: \: \: \: \: x = - \frac{\pi}{4} + 2\pi \: k \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi \: k$
$k\in \mathbb z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны найти значение угла x, при котором уравнение выполняется. Для этого выполним следующие шаги:

1. Преобразуем тригонометрические выражения, используя соответствующие тригонометрические тождества.
2. Решим получившееся уравнение.

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества:

1. cos(3π/2 + x) = -sin(x) (формула суммы для синуса)
2. cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) (формула двойного аргумента)

Теперь уравнение принимает вид: cos^2(x) - sin^2(x) - √2sin(x) - 1 = 0

Шаг 2: Теперь представим sin(x) в виде cos(x) с использованием соотношения sin^2(x) + cos^2(x) = 1: cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) - √2sin(x) - 1 = 0

Упростим уравнение: 2cos^2(x) - √2sin(x) - 2 = 0

Заменим sin(x) на 1 - cos^2(x) в уравнении выше: 2cos^2(x) - √2(1 - cos^2(x)) - 2 = 0

Теперь решим уравнение относительно cos^2(x): 2cos^2(x) - √2 + √2cos^2(x) - 2 = 0

Объединим подобные члены: (2 + √2)cos^2(x) - √2 - 2 = 0

Теперь найдем cos^2(x): (2 + √2)cos^2(x) = √2 + 2

cos^2(x) = (√2 + 2) / (2 + √2)

Теперь найдем cos(x) и sin(x) с помощью квадратного корня: cos(x) = ±√((√2 + 2) / (2 + √2))

sin(x) = ±√(1 - cos^2(x))

Поскольку знаки в уравнении могут быть разными, нам нужно проверить все возможные комбинации знаков.

Окончательные значения для cos(x) и sin(x) будут такими: cos(x) = ±√((√2 + 2) / (2 + √2)) sin(x) = ±√(1 - cos^2(x))

После того как найдены значения для cos(x) и sin(x), мы можем вычислить значения угла x, используя обратные тригонометрические функции (например, arccos и arcsin), но обратите внимание, что уравнение совпадений и нескольких знаков может привести к нескольким решениям или нулевому значению.