Question

Помогите решить. В арифметической прогрессии сумма первых шести членов равна 21. Сумма четвертого и восьмого равна 12. Чему равна разность прогрессии?

Answer 1

Запишем данную сумму двух членов через первый член и разность:

$a_4+a_8 = 12 \ \Rightarrow \ a_1+3d+a_1+7d=12 \ \Rightarrow \ \underline{2a_1+10d=12}$

По формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$\cfrac{2a_1+5d}{2}\cdot 6 =21 \ \Rightarrow \ (2a_1+5d)\cdot 3= 21 \ \Rightarrow \ \underline{2a_1+5d=7}$

Составим систему уравнений:

{2а₁ + 10d = 12

{2a₁ + 5d = 7

Вычтем нижнее уравнение из верхнего, найдем разность прогрессии:

           5d = 5

             d = 1

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим первый член прогрессии как "a", а разность между последовательными членами - как "d".

Сумма первых шести членов арифметической прогрессии: S6 = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) + (a + 5d)

Мы знаем, что S6 = 21, поэтому:

21 = 6a + 15d ...(1)

Также у нас есть информация о сумме четвертого и восьмого членов:

S4 = a + (a + 3d) + (a + 6d) + (a + 9d)

Мы знаем, что S4 + S8 = 12, поэтому:

S8 = 12 - S4

S8 = 12 - (a + (a + 3d) + (a + 6d) + (a + 9d))

S8 = 12 - (4a + 18d) ...(2)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и d). Решим эту систему уравнений:

(1) 21 = 6a + 15d (2) 12 = 12 - (4a + 18d)

Упростим второе уравнение:

12 = 12 - 4a - 18d 4a + 18d = 0 2a + 9d = 0 ...(3)

Теперь выразим "a" из уравнения (3):

2a = -9d a = -9d / 2

Теперь, зная значение "a", найдем значение "d" из уравнения (1):

21 = 6(-9d/2) + 15d

Решим уравнение:

21 = -27d + 15d 21 = -12d

d = -21 / -12 d = 7/4

Теперь, когда у нас есть значение "d", найдем значение "a":

a = -9d / 2 a = -9 * (7/4) / 2 a = -63/8

Таким образом, первый член прогрессии "a" равен -63/8, а разность "d" равна 7/4.

Теперь найдем разность прогрессии (d):

Разность прогрессии (d) = 7/4.